Partialbruchzerlegung-Rechner
Gebrochenrationale Funktionen in Partialbrüche zerlegen: Der Rechner faktorisiert den Nenner, zeigt den Ansatz mit A, B, C und liefert die fertige Zerlegung.
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- Stand: November 2026
Der Partialbruchzerlegung-Rechner zerlegt eine gebrochenrationale Funktion in eine Summe einfacher Teilbrüche. Du gibst Zähler und Nenner ein und bekommst drei Dinge: den faktorisierten Nenner, den passenden Ansatz mit den Unbekannten A, B, C … und die fertige Zerlegung. Das ist genau der Weg, den du für Integrale gebrochenrationaler Funktionen und für die Laplace-Rücktransformation brauchst.
Kurz erklärt
Bei der Partialbruchzerlegung zerlegst du zuerst den Nenner in Faktoren, stellst für jeden Faktor einen Bruch mit unbekanntem Zähler auf (Ansatz) und bestimmst die Unbekannten per Einsetzen oder Koeffizientenvergleich. Beispiel: (3x + 5)/(x² + 3x + 2) = 2/(x + 1) + 1/(x + 2). Ist der Zählergrad zu groß, kommt vorher eine Polynomdivision.
So benutzt du den Partialbruchzerlegung-Rechner
Der Rechenweg sagt dir auch, ob ein echter oder unechter Bruch vorliegt: „Zählergrad < Nennergrad – direkt zerlegen“ oder „Zählergrad ≥ Nennergrad: zuerst Polynomdivision, dann den Rest zerlegen“. Über „Teilen“ und „Drucken“ nimmst du die Aufgabe mit. Weitere Werkzeuge für Analysis und Algebra findest du bei den Matherechnern.
Partialbruchzerlegung: der Ansatz je Faktortyp
Wie der Ansatz aussieht, hängt nur davon ab, in welche Faktoren der Nenner zerfällt. Über den reellen Zahlen gibt es genau zwei Sorten: Linearfaktoren (x − a) und quadratische Faktoren ohne reelle Nullstelle wie x² + 1. Kommt ein Faktor mehrfach vor, bekommt jede Potenz einen eigenen Bruch.
| Faktor im Nenner | Ansatz | Unbekannte |
|---|---|---|
| einfacher Linearfaktor (x − a) | A/(x − a) | 1 |
| doppelter Linearfaktor (x − a)² | A/(x − a) + B/(x − a)² | 2 |
| k-facher Linearfaktor (x − a)ᵏ | A₁/(x − a) + … + Aₖ/(x − a)ᵏ | k |
| quadratisch, nicht zerlegbar (x² + px + q) | (Bx + C)/(x² + px + q) | 2 |
| quadratisch, doppelt (x² + px + q)² | (Bx + C)/(…) + (Dx + E)/(…)² | 4 |
Ob ein quadratischer Faktor weiter zerfällt, entscheidet die Diskriminante: x² + 3x + 2 hat D = 9 − 8 = 1 > 0 und zerfällt in (x + 1)(x + 2), x² + 1 hat D = −4 < 0 und bleibt stehen. Die Nullstellen des Nenners findest du mit dem Nullstellenrechner, quadratische Nenner löst auch der Mitternachtsformel-Rechner.
Ansatz für (x + 1)/(x(x − 1)²): A/x + B/(x − 1)². Damit fehlt eine Unbekannte, und das Gleichungssystem geht nicht auf.
A/x + B/(x − 1) + C/(x − 1)². Ein doppelter Faktor bekommt zwei Brüche – mit der ersten und der zweiten Potenz.
A, B und C bestimmen: zwei Methoden
Einsetzverfahren (Zuhaltemethode)
Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner und setze nacheinander die Nullstellen des Nenners ein. Bei jeder Nullstelle fallen alle Summanden bis auf einen weg. Bei einfachen Linearfaktoren geht es noch schneller: Halte im Originalbruch den Faktor (x − a) zu und setze x = a in den Rest ein. Für (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)) ergibt das A = (−3 + 5)/(−1 + 2) = 2 und B = (−6 + 5)/(−2 + 1) = 1.
Koeffizientenvergleich
Bei mehrfachen oder quadratischen Faktoren reicht das Einsetzen allein nicht. Dann multiplizierst du alles aus, sortierst nach Potenzen von x und setzt die Koeffizienten links und rechts gleich. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem für A, B, C …, das du per Hand oder mit dem LGS-Rechner löst. In der Praxis kombiniert man beide Methoden: erst Nullstellen einsetzen, dann die übrigen Unbekannten per Vergleich.
Partialbruchzerlegung per Koeffizientenvergleich, Schritt für Schritt
Nimm (5x − 4)/(x² − x − 2). Der Nenner zerfällt in (x − 2)(x + 1), der Ansatz lautet A/(x − 2) + B/(x + 1). Nach dem Malnehmen mit dem Hauptnenner steht da:
- 5x − 4 = A(x + 1) + B(x − 2)
- Ausmultiplizieren und sortieren: 5x − 4 = (A + B)x + (A − 2B)
- Koeffizienten gleichsetzen: bei x gilt A + B = 5, bei der Zahl A − 2B = −4
- Erste minus zweite Gleichung: 3B = 9 → B = 3, eingesetzt A = 2
Ergebnis: 2/(x − 2) + 3/(x + 1) – genau das liefert auch der Rechner. Mit der Zuhaltemethode wärst du hier schneller gewesen (x = 2 → A = 6/3 = 2), aber bei quadratischen Faktoren führt am Koeffizientenvergleich kein Weg vorbei.
🤓 Wusstest du? Die Zuhaltemethode heißt im Englischen „Heaviside cover-up method“ – nach dem britischen Physiker Oliver Heaviside. Für seine Berechnungen an Telegrafen- und Stromleitungen entwickelte er im 19. Jahrhundert eine eigene Operatorrechnung, in der solche Zerlegungen ständig vorkommen – ein Vorläufer der heutigen Laplace-Methoden.
Rechenbeispiele mit dem Partialbruchzerlegung-Rechner
🧮 Beispiel 1: Zwei einfache Linearfaktoren (3x + 5)/(x² + 3x + 2)
- Nenner faktorisiert: (x + 1)(x + 2)
- Ansatz: A/(x + 1) + B/(x + 2)
- 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1); x = −1 → 2 = A; x = −2 → −1 = −B → B = 1
Ergebnis: 2/(x + 1) + 1/(x + 2). Probe bei x = 0: links 5/2, rechts 2 + 1/2 = 5/2 ✓
🧮 Beispiel 2: Doppelter Faktor (x + 1)/(x³ − 2x² + x)
- Nenner: x³ − 2x² + x = x(x² − 2x + 1) = x(x − 1)²
- Ansatz: A/x + B/(x − 1) + C/(x − 1)²
- x + 1 = A(x − 1)² + Bx(x − 1) + Cx; x = 0 → A = 1; x = 1 → C = 2
- Vergleich bei x²: 0 = A + B → B = −1
Ergebnis: 1/x − 1/(x − 1) + 2/(x − 1)². Probe bei x = 2: links 3/2, rechts 1/2 − 1 + 2 = 3/2 ✓
🧮 Beispiel 3: Quadratischer Faktor (2x² + x + 1)/(x³ + x)
- Nenner: x³ + x = x(x² + 1), und x² + 1 zerfällt nicht weiter
- Ansatz: A/x + (Bx + C)/(x² + 1)
- 2x² + x + 1 = A(x² + 1) + (Bx + C)x; x = 0 → A = 1
- Vergleich: x²: 2 = A + B → B = 1; x: 1 = C
Ergebnis: 1/x + (x + 1)/(x² + 1). Der Rechner schreibt den zweiten Teil aufgeteilt als x/(x² + 1) + 1/(x² + 1) – das ist dasselbe.
🧮 Beispiel 4: Unechter Bruch (x³ + 2)/(x² − 1)
- Zählergrad 3 ≥ Nennergrad 2 → erst Polynomdivision: x³ + 2 = x · (x² − 1) + x + 2
- Rest zerlegen: (x + 2)/((x − 1)(x + 1)) = A/(x − 1) + B/(x + 1)
- Zuhalten: A = 3/2, B = (−1 + 2)/(−2) = −1/2
Ergebnis: x + 3/(2(x − 1)) − 1/(2(x + 1)). Der Rechenweg meldet dazu „Zählergrad ≥ Nennergrad: zuerst Polynomdivision“. Probe bei x = 2: links 10/3, rechts 2 + 3/2 − 1/6 = 10/3 ✓
🧮 Beispiel 5: Drei Linearfaktoren 4/(x³ − 4x)
- Nenner: x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2)
- Zuhalten bei x = 0: 4/((−2) · 2) = −1
- bei x = 2: 4/(2 · 4) = 1/2; bei x = −2: 4/((−2) · (−4)) = 1/2
Ergebnis: −1/x + 1/(2(x − 2)) + 1/(2(x + 2)). Drei Faktoren, drei Unbekannte – ganz ohne Koeffizientenvergleich.
Anzahl der Unbekannten je Nenner
Partialbruchzerlegung zum Integrieren
Der wichtigste Grund für die Partialbruchzerlegung: Gebrochenrationale Funktionen lassen sich so Stück für Stück integrieren. Jeder Teilbruch hat eine bekannte Stammfunktion:
| Teilbruch | Stammfunktion |
|---|---|
| A/(x − a) | A · ln|x − a| + C |
| A/(x − a)² | −A/(x − a) + C |
| A/(x − a)ᵏ mit k ≥ 2 | −A/((k − 1)(x − a)ᵏ⁻¹) + C |
| 1/(x² + 1) | arctan(x) + C |
| x/(x² + 1) | ½ · ln(x² + 1) + C |
Für Beispiel 1 heißt das: ∫ (3x + 5)/(x² + 3x + 2) dx = 2 · ln|x + 1| + ln|x + 2| + C. Bei Beispiel 2 sorgt der doppelte Faktor für einen Bruch ohne Logarithmus: ∫ (x + 1)/(x³ − 2x² + x) dx = ln|x| − ln|x − 1| − 2/(x − 1) + C. Genau deshalb ist der vollständige Ansatz so wichtig – fehlt der Summand mit (x − 1)², fehlt später auch dieser Teil der Stammfunktion. Aus Beispiel 3 wird 1/x + x/(x² + 1) + 1/(x² + 1) und damit ln|x| + ½ · ln(x² + 1) + arctan(x) + C. Die Stammfunktion mit Probe zeigt der Stammfunktion-Rechner, bestimmte Integrale samt Fläche berechnet der Integralrechner.
💡 Tipp: In der Regelungstechnik und bei Differentialgleichungen brauchst du die Zerlegung für die Laplace-Rücktransformation: Aus 1/(s + a) wird dort e−at. Der Ablauf ist derselbe – nur heißt die Variable s statt x. Im Rechner trägst du sie trotzdem als x ein.
Häufige Fehler bei der Partialbruchzerlegung
- ✅ Echter Bruch? Ist der Zählergrad ≥ Nennergrad, zuerst mit dem Polynomdivision-Rechner teilen.
- ✅ Nenner vollständig zerlegt? x² − 4 ist noch kein Endprodukt, sondern (x − 2)(x + 2).
- ✅ Alle Potenzen im Ansatz? (x − 1)² braucht A/(x − 1) und B/(x − 1)².
- ✅ Linearer Zähler über quadratischen Faktoren? Über x² + 1 steht Bx + C, nicht nur B.
- ✅ Vorzeichen beim Zuhalten? Bei (x + 2) setzt du x = −2 ein, nicht +2.
- ✅ Probe gemacht? Einen beliebigen x-Wert links und rechts einsetzen – beide Seiten müssen gleich sein.
⚠️ Achtung: Ist der Nenner selbst schon ein einzelner Faktor, etwa (x + 1)² oder x² + 1, gibt es oft nichts zu zerlegen. 1/(x + 1)² ist bereits ein Partialbruch, und x/(x² + 1) ebenso – der Rechner gibt den Bruch dann unverändert zurück.
Häufige Fragen zum Partialbruchzerlegung-Rechner
Was ist eine Partialbruchzerlegung?
Die Partialbruchzerlegung schreibt einen Bruch aus zwei Polynomen als Summe einfacher Brüche, deren Nenner nur noch Linearfaktoren oder nicht zerlegbare quadratische Faktoren sind. Aus (3x + 5)/(x² + 3x + 2) wird zum Beispiel 2/(x + 1) + 1/(x + 2).
Wann braucht man die Partialbruchzerlegung?
Vor allem beim Integrieren gebrochenrationaler Funktionen, weil jeder Teilbruch eine einfache Stammfunktion hat. Außerdem bei der Laplace-Rücktransformation in Technik und Physik sowie bei manchen Reihen und Folgen.
Wie stelle ich den Ansatz für die Partialbruchzerlegung auf?
Für jeden einfachen Linearfaktor (x − a) schreibst du A/(x − a). Ein k-facher Faktor bekommt k Brüche mit den Potenzen 1 bis k. Über einem nicht zerlegbaren quadratischen Faktor steht ein linearer Zähler Bx + C.
Was mache ich, wenn der Zählergrad größer ist als der Nennergrad?
Dann ist der Bruch unecht, und du führst zuerst eine Polynomdivision durch. Das Ergebnis ist ein Polynom plus ein echter Restbruch. Nur diesen Restbruch zerlegst du anschließend in Partialbrüche.
Was ist die Zuhaltemethode?
Bei einfachen Linearfaktoren hältst du im Originalbruch den Faktor (x − a) zu und setzt x = a in den Rest ein. Das Ergebnis ist direkt der Zähler A über (x − a). Bei mehrfachen Faktoren liefert die Methode nur den Zähler der höchsten Potenz.
Wie viele Unbekannte hat eine Partialbruchzerlegung?
Genau so viele, wie der Grad des Nenners angibt. Ein Nenner 2. Grades braucht zwei, ein Nenner 3. Grades drei Unbekannte. So kannst du deinen Ansatz schnell kontrollieren.
Was passiert bei komplexen Nullstellen im Nenner?
Über den reellen Zahlen bleiben quadratische Faktoren mit negativer Diskriminante wie x² + 1 stehen. Im Ansatz bekommen sie einen linearen Zähler Bx + C. Integriert ergeben sie Arkustangens- und Logarithmus-Terme.
Wie mache ich die Probe bei der Partialbruchzerlegung?
Setze einen beliebigen x-Wert, der keine Nullstelle des Nenners ist, in den Originalbruch und in deine Zerlegung ein. Stimmen beide Ergebnisse überein, ist die Zerlegung sehr wahrscheinlich richtig. Ganz sicher bist du, wenn du die Teilbrüche wieder auf den Hauptnenner bringst und den Originalbruch erhältst.
Kann ich den Nenner schon faktorisiert eingeben?
Ja. Du kannst den Nenner ausmultipliziert, etwa x^2 – x – 2, oder als Produkt wie (x+1)*(x-2) eintragen. Der Rechner faktorisiert ihn in beiden Fällen selbst und zeigt das Ergebnis unter „Nenner faktorisiert“.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
🔁 Stammfunktion-RechnerF(x) bilden und per Ableitung prüfen.
➗ Polynomdivision-RechnerUnechte Brüche vorher sauber aufteilen.
🔢 LGS-RechnerGleichungssysteme aus dem Koeffizientenvergleich lösen.
So rechnet unser Rechner: Der Nenner wird mit der freien Bibliothek nerdamer (MIT-Lizenz, liegt auf netzblogr.de selbst) faktorisiert, die Zerlegung berechnet dieselbe Bibliothek symbolisch. Aus den Faktoren baut der Rechner den Ansatz: je Linearfaktor-Potenz eine Konstante, je quadratischem Faktor ein linearer Zähler. Ob Zähler- oder Nennergrad größer ist, prüft er über die Koeffizienten. Alles läuft in deinem Browser.
Grundlage: allgemeine Regeln der Algebra und Analysis · Stand: November 2026