LGS-Rechner: Gleichungssystem lösen
Lineare Gleichungssysteme online lösen: Gauß-Verfahren mit exakten Brüchen, Rechenweg und Erkennung aller drei Lösungsfälle – von 2×2 bis zu vielen Unbekannten.
- Live-Ergebnis
- Mit Rechenweg
- Kostenlos & ohne Anmeldung
- Daten bleiben im Browser
- Stand: November 2026
Der LGS-Rechner löst lineare Gleichungssysteme mit zwei, drei oder mehr Unbekannten nach dem Gauß-Verfahren – exakt mit Brüchen und mit jedem Umformungsschritt. Er erkennt alle drei Fälle: genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Bei unendlich vielen Lösungen nennt er die freien Variablen und stellt die übrigen danach um.
Kurz erklärt
Ein LGS löst du am sichersten mit dem Gauß-Verfahren: Koeffizienten und rechte Seite als erweiterte Matrix (A | b) schreiben und mit Zeilenumformungen Nullen erzeugen, bis die Lösung abzulesen ist. Im LGS-Rechner tippst du je Gleichung eine Zeile ein, etwa 2x + y − z = 8 → „2 1 -1 | 8“. Ergebnis: eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
So benutzt du den LGS-Rechner
Bei bis zu drei Unbekannten heißen die Variablen x, y und z, ab vier Unbekannten x₁, x₂, x₃ und so weiter. Der senkrechte Strich ist eine Lesehilfe: Der Rechner nimmt immer die letzte Zahl jeder Zeile als rechte Seite. Brüche wie 1/2 und Dezimalzahlen wie 0,5 sind erlaubt.
💡 Tipp: Die häufigste Fehlerquelle sind fehlende Variablen. Aus „x + z = 5“ wird bei drei Unbekannten „1 0 1 | 5“ – die 0 für y darf nicht fehlen, sonst passt die Zeilenlänge nicht und der Rechner meldet „Jede Zeile braucht gleich viele Zahlen“.
LGS lösen mit dem Gauß-Verfahren
Erlaubt sind drei Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern: zwei Gleichungen tauschen, eine Gleichung durch eine Zahl ungleich 0 teilen und ein Vielfaches einer Gleichung von einer anderen abziehen. Spalte für Spalte entsteht so eine 1 auf der Diagonale und darüber und darunter eine 0. Diese Variante heißt Gauß-Jordan-Verfahren; am Ende steht die Lösung direkt in der letzten Spalte.
Im Rechenweg stehen die Umformungen in Kurzform: „Z1 ÷ 2“ teilt Zeile 1 durch 2, „Z3 − 2 · Z2“ zieht das Doppelte von Zeile 2 von Zeile 3 ab, „Z2 ↔ Z3“ tauscht zwei Zeilen. Bei negativen Faktoren steht dort zum Beispiel „Z2 + 3 · Z1“: Dann wird das Dreifache von Zeile 1 addiert.
Die drei Lösungsfälle eines LGS
| Fall | Erkennungszeichen in der Stufenform | Anzeige im Rechner |
|---|---|---|
| genau eine Lösung | jede Variable hat eine führende 1 (Rang = Anzahl Unbekannte) | „x = …; y = …“ und „genau eine Lösung“ |
| keine Lösung | Zeile „0 0 … 0 | Zahl ≠ 0“ | „keine Lösung“, Hinweis auf den Widerspruch |
| unendlich viele Lösungen | weniger führende Einsen als Unbekannte, kein Widerspruch | „unendlich viele“, freie Variable(n) und Parameterform |
Rechenbeispiele mit dem LGS-Rechner
🧮 Beispiel 1: Drei Gleichungen, drei Unbekannte
Die Voreinstellung: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3. Eingabe: „2 1 -1 | 8“, „-3 -1 2 | -11“, „-2 1 2 | -3“.
- Z1 ÷ 2 → (1 1/2 −1/2 | 4); dann Z2 + 3 · Z1 und Z3 + 2 · Z1 → (0 1/2 1/2 | 1) und (0 2 1 | 5)
- Z2 ÷ 1/2 → (0 1 1 | 2); Z1 − 1/2 · Z2 und Z3 − 2 · Z2 → (1 0 −1 | 3) und (0 0 −1 | 1)
- Z3 ÷ (−1) → (0 0 1 | −1); Z1 + Z3 und Z2 − Z3 räumen die letzte Spalte
Ergebnis: x = 2, y = 3, z = −1 nach 9 Umformungen, „genau eine Lösung“. Probe: 2·2 + 3 − (−1) = 8 ✓
🧮 Beispiel 2: Kinokarten für Erwachsene und Kinder
Familie A zahlt für 2 Erwachsene und 3 Kinder 41 €, Familie B für 1 Erwachsenen und 2 Kinder 24 €. Wie teuer sind die Karten? x = Erwachsenenkarte, y = Kinderkarte.
- Eingabe: „2 3 | 41“ und „1 2 | 24“
- Z1 ÷ 2, dann Z2 − 1 · Z1, Z2 ÷ 1/2 und Z1 − 3/2 · Z2
- Probe: 2·10 + 3·7 = 41 und 10 + 2·7 = 24
Ergebnis: x = 10; y = 7 – die Erwachsenenkarte kostet 10 €, die Kinderkarte 7 €.
🧮 Beispiel 3: Lösung mit Bruch und ein Widerspruch
System 1: 2x + 3y = 7 und 4x − y = 0. System 2: x + y = 2 und 2x + 2y = 5.
- System 1 („2 3 | 7“, „4 -1 | 0“): Aus 4x − y = 0 folgt y = 4x, eingesetzt 14x = 7
- System 2 („1 1 | 2“, „2 2 | 5“): Z2 − 2 · Z1 ergibt die Zeile (0 0 | 1), also 0 = 1
Ergebnis: System 1: x = 1/2; y = 2. System 2: keine Lösung mit dem Hinweis „Widerspruch (0 = Zahl ≠ 0) – das System ist unlösbar“. Geometrisch sind das zwei parallele Geraden.
🧮 Beispiel 4: Unendlich viele Lösungen
x + y + z = 6, 2x + 2y + 2z = 12, x − y = 0. Die zweite Gleichung ist nur das Doppelte der ersten. Eingabe: „1 1 1 | 6“, „2 2 2 | 12“, „1 -1 0 | 0“.
- Z2 − 2 · Z1 → Nullzeile; Z3 − 1 · Z1 → (0 −2 −1 | −6)
- Z2 ↔ Z3 tauscht die Nullzeile nach unten, Z2 ÷ -2 → (0 1 1/2 | 3)
- Z1 − 1 · Z2 → (1 0 1/2 | 3); für z bleibt keine führende 1
Ergebnis: „unendlich viele“, darunter „freie Variable(n): z – x = 3 − 1/2·z; y = 3 − 1/2·z“. Für z = 2 ist etwa x = y = 2, für z = 0 ist x = y = 3.
Tabelle: Lösungsverfahren für Gleichungssysteme im Vergleich
| Verfahren | Idee | Gut geeignet für |
|---|---|---|
| Einsetzungsverfahren | eine Gleichung nach einer Variable auflösen, in die andere einsetzen | 2×2, wenn eine Variable schon allein steht |
| Gleichsetzungsverfahren | beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen, gleichsetzen | 2×2, z. B. Schnittpunkt zweier Geraden |
| Additionsverfahren | Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegfällt | 2×2 und 3×3 von Hand |
| Gauß-Verfahren | Additionsverfahren systematisch in Matrixform | jede Größe, alle Lösungsfälle |
| Cramersche Regel | Lösungen als Quotienten von Determinanten | 2×2 und 3×3 mit det ≠ 0 |
| Inverse Matrix | x = A⁻¹ · b | viele rechte Seiten mit derselben Matrix |
Die Cramersche Regel braucht Determinanten, die du auf der Seite Determinante berechnen bestimmst. Beim Kinokarten-Beispiel ist det = 2·2 − 3·1 = 1, also x = 41·2 − 3·24 = 10 und y = 2·24 − 41·1 = 7. Die Inverse für den Weg x = A⁻¹ · b liefert der Inverse-Matrix-Rechner.
Umformungen im Rechenweg der Beispiele
Gleichungssysteme mit mehr als drei Unbekannten
Der LGS-Rechner hat keine feste Obergrenze für die Zahl der Gleichungen. Ein Beispiel mit vier Unbekannten: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10, x₁ − x₂ = −1, x₂ − x₃ = −1 und x₃ − x₄ = −1. Eingabe: „1 1 1 1 | 10“, „1 -1 0 0 | -1“, „0 1 -1 0 | -1“, „0 0 1 -1 | -1“. Nach 12 Umformungen steht da x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3; x₄ = 4.
Mehr Gleichungen als Unbekannte
Auch überbestimmte Systeme sind möglich, etwa drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Passen alle Gleichungen zusammen, entsteht beim Umformen eine Nullzeile „0 0 | 0“ und die Lösung ist eindeutig. Widerspricht eine Gleichung den anderen, bleibt eine Zeile „0 0 | Zahl“ übrig – dann gibt es keine Lösung.
Gleichungssysteme in der Analytischen Geometrie
Schnittpunkte von Geraden und Ebenen führen fast immer auf ein LGS. Die Ebenengleichung selbst stellst du oft mit einem Normalenvektor auf, den der Kreuzprodukt-Rechner aus zwei Richtungsvektoren berechnet. Bruchergebnisse wie 4/3 kannst du anschließend mit dem Brüche-kürzen-Rechner in eine gemischte Zahl oder Dezimalzahl umwandeln.
🤓 Wusstest du? Das Verfahren ist nach Carl Friedrich Gauß benannt, war aber viel älter: Schon in dem chinesischen Rechenbuch „Neun Kapitel der Rechenkunst“ wird ein gleichwertiges Vorgehen mit Rechenstäbchen auf einem Zahlenbrett beschrieben.
⚠️ Achtung: Der Rechner löst nur lineare Gleichungssysteme. Kommen x², x·y oder Wurzeln vor, ist das System nicht linear. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten löst der Mitternachtsformel-Rechner, allgemeinere Gleichungen der CAS-Rechner.
Häufige Fehler beim LGS-Rechner
- ✅ Alles nach links: Variablen auf die linke, Zahlen auf die rechte Seite bringen – aus 3x = 12 − 2y wird „3 2 | 12“.
- ✅ Nullen eintragen: Fehlende Variablen bekommen den Koeffizienten 0.
- ✅ Gleiche Reihenfolge: In jeder Zeile stehen die Koeffizienten von x, y, z in derselben Reihenfolge.
- ✅ Vorzeichen übernehmen: −y wird zu „-1“, nicht zu „1“.
- ✅ Probe machen: Die Lösung in eine Ausgangsgleichung einsetzen – am besten in die, die du nicht umgeformt hast.
Häufige Fragen zum LGS-Rechner
Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?
Am systematischsten mit dem Gauß-Verfahren: Du schreibst die Koeffizienten als Matrix und erzeugst mit Zeilenumformungen Nullen, bis jede Zeile nur noch eine Variable enthält. Bei zwei Gleichungen gehen auch Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.
Wie gebe ich ein Gleichungssystem in den LGS-Rechner ein?
Je Gleichung eine Zeile: erst die Koeffizienten von x, y, z mit Leerzeichen getrennt, dann ein senkrechter Strich und die rechte Seite. 2x + y − z = 8 wird zu „2 1 -1 | 8“. Brüche und Dezimalzahlen sind erlaubt.
Wann hat ein LGS keine Lösung?
Wenn beim Umformen eine Zeile entsteht, in der links nur Nullen stehen, rechts aber eine Zahl ungleich 0 – also ein Widerspruch wie 0 = 1. Bei zwei Unbekannten entspricht das zwei parallelen Geraden ohne Schnittpunkt.
Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?
Wenn es keinen Widerspruch gibt, aber weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte. Mindestens eine Variable bleibt dann frei wählbar. Der Rechner nennt diese freie Variable und drückt die anderen durch sie aus.
Was ist die erweiterte Koeffizientenmatrix?
Die Matrix (A | b) enthält links die Koeffizienten der Variablen und rechts, durch einen Strich getrennt, die rechten Seiten der Gleichungen. Mit ihr lässt sich das Gauß-Verfahren übersichtlich durchführen.
Was ist der Unterschied zwischen Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren?
Beim Gauß-Verfahren erzeugst du nur Nullen unterhalb der Diagonale und rechnest dann von unten nach oben zurück. Beim Gauß-Jordan-Verfahren entstehen auch oberhalb Nullen, sodass die Lösung direkt abzulesen ist. Der LGS-Rechner nutzt Gauß-Jordan.
Kann der LGS-Rechner Gleichungssysteme mit 4 Unbekannten lösen?
Ja. Ab vier Unbekannten heißen die Variablen x₁, x₂, x₃, x₄. Der Rechenweg zeigt dabei bis zu 16 Umformungen und nennt danach die Zahl der weiteren Schritte.
Warum zeigt der Rechner Brüche statt Kommazahlen?
Weil er exakt rechnet. Ein Ergebnis wie 1/3 bleibt 1/3, statt zu 0,333… gerundet zu werden. So stimmt auch die Probe ohne Rundungsfehler.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
🔄 Inverse-Matrix-RechnerA⁻¹ berechnen und x = A⁻¹ · b nutzen.
🔲 Determinante berechnenVorab prüfen, ob das LGS eindeutig lösbar ist.
🧠 CAS-RechnerAuch nichtlineare Gleichungen umformen und lösen.
Mehr Werkzeuge für Algebra und Geometrie findest du bei den Matherechnern.
So rechnet unser Rechner: Die erweiterte Koeffizientenmatrix wird in gekürzte Brüche umgewandelt und mit dem Gauß-Jordan-Verfahren in die reduzierte Zeilenstufenform gebracht (Pivotsuche Spalte für Spalte, Zeilentausch bei einer 0). Eine Zeile „0 … 0 | c“ mit c ≠ 0 bedeutet keine Lösung; hat jede Unbekannte eine führende 1, ist die Lösung eindeutig, sonst werden freie Variablen ausgewiesen. Der Rechenweg zeigt bis zu 16 Umformungen. Alle Beispiele in diesem Text wurden nachgerechnet. Stand: November 2026