Inverse Matrix berechnen
Inverse Matrix online berechnen: A⁻¹ mit dem Gauß-Jordan-Verfahren oder der 2×2-Kurzformel – exakt mit Brüchen, mit Probe und Rechenregeln.
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- Stand: November 2026
Mit dem Inverse-Matrix-Rechner berechnest du die Umkehrmatrix A⁻¹ einer quadratischen Matrix – exakt mit Brüchen, Schritt für Schritt nach dem Gauß-Jordan-Verfahren. Bei 2×2-Matrizen nennt er zusätzlich die Kurzformel. Ist die Matrix nicht invertierbar, sagt er dir das sofort und nennt den Grund: Die Determinante ist 0.
Kurz erklärt
Die inverse Matrix A⁻¹ erfüllt A · A⁻¹ = E (Einheitsmatrix). Sie existiert nur, wenn A quadratisch ist und det(A) ≠ 0. Für 2×2 gilt die Kurzformel A⁻¹ = 1/det · (d −b; −c a). Größere Matrizen invertierst du mit dem Gauß-Jordan-Verfahren: (A | E) umformen, bis links E steht – rechts steht dann A⁻¹.
So benutzt du den Inverse-Matrix-Rechner
Unter dem Ergebnis erinnert der Rechner an die Probe: A · A⁻¹ ergibt die Einheitsmatrix. Die machst du mit dem Matrizenrechner – A und das kopierte A⁻¹ einfügen, „A · B“ wählen. Im Rechenweg stehen bis zu 14 Umformungen; bei größeren Matrizen folgt der Hinweis, wie viele weitere Schritte es gab. Ist det(A) = 0, steht statt einer Matrix „existiert nicht“ mit dem Zusatz „det(A) = 0 – die Matrix ist singulär“.
Inverse Matrix berechnen: Formel und Gauß-Jordan-Verfahren
allgemein: (A | E) → Gauß-Jordan → (E | A⁻¹)
Kurzformel für 2×2: Vertausche die beiden Einträge der Hauptdiagonale, setze vor die Einträge der Nebendiagonale ein Minus und teile alles durch die Determinante. Das ist die schnellste Methode für Klausuren.
Gauß-Jordan für jede Größe: Schreibe A und die Einheitsmatrix E nebeneinander. Mit drei erlaubten Zeilenumformungen – Zeilen tauschen, eine Zeile durch eine Zahl ungleich 0 teilen, ein Vielfaches einer Zeile abziehen – bringst du die linke Hälfte auf E. Alles, was du links tust, passiert rechts mit. Am Ende steht rechts A⁻¹.
So liest du den Rechenweg im Inverse-Matrix-Rechner
Die Umformungen erscheinen in Kurzschrift. „Z1 ÷ 2“ heißt: Teile Zeile 1 durch 2. „Z2 − 5 · Z1“ heißt: Ziehe das Fünffache von Zeile 1 von Zeile 2 ab. „Z1 ↔ Z2“ bedeutet einen Zeilentausch. Ist der Faktor negativ, wird addiert: „Z3 + 4 · Z2“ heißt, das Vierfache von Zeile 2 kommt zu Zeile 3 hinzu.
„Die Inverse bekommt man, indem man jeden Eintrag umkehrt: aus 2 wird 1/2, aus 5 wird 1/5.“
Das klappt nur bei Diagonalmatrizen. Im Allgemeinen brauchst du Gauß-Jordan oder die 2×2-Kurzformel – bei (2 1; 5 3) ist A⁻¹ = (3 −1; −5 2).
Rechenbeispiele: inverse Matrix Schritt für Schritt
🧮 Beispiel 1: 2×2-Matrix mit Gauß-Jordan
Die Voreinstellung: A = (2 1; 5 3). Startpunkt ist (2 1 | 1 0; 5 3 | 0 1).
- Z1 ÷ 2 → (1 1/2 | 1/2 0)
- Z2 − 5 · Z1 → (0 1/2 | −5/2 1)
- Z2 ÷ 1/2 → (0 1 | −5 2)
- Z1 − 1/2 · Z2 → (1 0 | 3 −1)
Ergebnis: A⁻¹ = (3 −1; −5 2), darunter „det(A) = 1“. Kurzformel zur Kontrolle: det = 2·3 − 1·5 = 1, also einfach (3 −1; −5 2).
🧮 Beispiel 2: Kurzformel mit Brüchen im Ergebnis
A = (4 7; 2 6). Hier ist die Determinante nicht 1, deshalb entstehen Brüche.
- det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10
- Diagonale tauschen, Nebendiagonale negieren: (6 −7; −2 4)
- Durch 10 teilen: 6/10 = 3/5, −7/10, −2/10 = −1/5, 4/10 = 2/5
Ergebnis: A⁻¹ = (3/5 −7/10; −1/5 2/5), „det(A) = 10“. Im Rechenweg stehen „Z1 ÷ 4“, „Z2 − 2 · Z1“, „Z2 ÷ 5/2“ und „Z1 − 7/4 · Z2“ – plus der Hinweis auf die Kurzformel.
🧮 Beispiel 3: 3×3-Matrix invertieren
A = (1 2 3; 0 1 4; 5 6 0), eingegeben in drei Zeilen.
- Z3 − 5 · Z1 schafft die Null unten links
- Z1 − 2 · Z2 und Z3 + 4 · Z2 räumen die zweite Spalte auf
- Z1 + 5 · Z3 und Z2 − 4 · Z3 räumen die dritte Spalte auf – fertig nach 5 Umformungen
Ergebnis: A⁻¹ = (−24 18 5; 20 −15 −4; −5 4 1), det(A) = 1. Die Probe A · A⁻¹ ergibt im Matrizenrechner genau (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1).
🧮 Beispiel 4: Matrixgleichung A · x = b mit der Inversen lösen
Gesucht ist x mit (2 1; 5 3) · x = (3; 8). Die Inverse kennst du aus Beispiel 1.
- x = A⁻¹ · b = (3 −1; −5 2) · (3; 8)
- Erste Zeile: 3·3 + (−1)·8 = 1
- Zweite Zeile: (−5)·3 + 2·8 = 1
Ergebnis: x = (1; 1). Probe: 2·1 + 1·1 = 3 und 5·1 + 3·1 = 8. Für reine Gleichungssysteme ist der LGS-Rechner meist der schnellere Weg.
Tabelle: Rechenregeln für die inverse Matrix
| Regel | Bedeutung |
|---|---|
| (A⁻¹)⁻¹ = A | Zweimal invertieren führt zurück zur Ausgangsmatrix. |
| (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹ | Reihenfolge dreht sich um. |
| (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ | Transponieren und Invertieren sind vertauschbar. |
| det(A⁻¹) = 1 ÷ det(A) | Bei det(A) = 10 ist det(A⁻¹) = 1/10. |
| (k · A)⁻¹ = 1/k · A⁻¹ | Für jede Zahl k ≠ 0. |
Tabelle: Inverse besonderer Matrizen
| Matrix | Beispiel | Inverse |
|---|---|---|
| Einheitsmatrix | (1 0; 0 1) | sie selbst |
| Diagonalmatrix | (2 0 0; 0 4 0; 0 0 5) | (1/2 0 0; 0 1/4 0; 0 0 1/5) |
| Drehung um 90° | (0 −1; 1 0) | (0 1; −1 0) = Transponierte |
| Allgemeine 2×2 | (4 7; 2 6) | (3/5 −7/10; −1/5 2/5) |
| Singuläre Matrix | (1 2; 2 4) | existiert nicht (det = 0) |
Bei der Diagonalmatrix braucht der Rechner nur drei Schritte: „Z1 ÷ 2“, „Z2 ÷ 4“ und „Z3 ÷ 5“. Bei Drehmatrizen ist die Inverse immer die Transponierte – die Drehung in die Gegenrichtung. Das liegt daran, dass ihre Spalten die Länge 1 haben und senkrecht aufeinander stehen: Das Skalarprodukt der Spalten (0 | 1) und (−1 | 0) ist 0, wie der Skalarprodukt-Rechner bestätigt. Für andere Drehwinkel stehen in der Matrix cos α und sin α; die Werte liefert der Trigonometrie-Rechner.
Wann eine Matrix invertierbar ist
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Gleichbedeutend: Ihre Zeilen sind linear unabhängig, und jedes Gleichungssystem A · x = b hat genau eine Lösung. Bei (1 2; 2 4) ist die zweite Zeile das Doppelte der ersten, die Determinante 1·4 − 2·2 = 0. Wie man die Determinante für 3×3 und größere Matrizen bestimmt, zeigt die Seite Determinante berechnen.
Einträge im Gauß-Jordan-Schema (A | E)
🤓 Wusstest du? Ist eine Matrix von beiden Seiten invertierbar, sind Links- und Rechtsinverse dieselbe Matrix: A⁻¹ · A = A · A⁻¹ = E. Das ist eine der wenigen Stellen, an denen bei Matrizen die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle spielt.
Häufige Fehler beim Invertieren
- ✅ Erst die Determinante prüfen: Ist sie 0, kannst du dir jede weitere Rechnung sparen.
- ✅ Rechte Seite mitnehmen: Jede Umformung gilt für die ganze Zeile von (A | E), nicht nur für die linke Hälfte.
- ✅ Kurzformel richtig anwenden: Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale nur negieren – nicht tauschen.
- ✅ Nicht runden: 1/3 als 0,33 einzusetzen verfälscht die Probe. Der Rechner bleibt bei exakten Brüchen.
- ✅ Probe machen: A · A⁻¹ muss exakt die Einheitsmatrix ergeben.
⚠️ Achtung: Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse im üblichen Sinn. Gibst du eine 2×3-Matrix ein, meldet der Rechner „Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse.“
Häufige Fragen zum Inverse-Matrix-Rechner
Wie berechnet man die inverse Matrix?
Mit dem Gauß-Jordan-Verfahren: Du schreibst A und die Einheitsmatrix nebeneinander und formst mit Zeilenumformungen so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann A⁻¹. Bei 2×2-Matrizen geht es schneller mit der Kurzformel.
Wie lautet die Formel für die Inverse einer 2×2-Matrix?
Für A = (a b; c d) gilt A⁻¹ = 1/(a·d − b·c) · (d −b; −c a). Du tauschst also die Hauptdiagonale, negierst die Nebendiagonale und teilst durch die Determinante.
Wann ist eine Matrix nicht invertierbar?
Wenn ihre Determinante 0 ist oder sie nicht quadratisch ist. Dann sind die Zeilen linear abhängig, und es gibt keine Matrix, die mit A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.
Wie mache ich die Probe für die inverse Matrix?
Multipliziere A mit dem berechneten A⁻¹. Kommt genau die Einheitsmatrix heraus – Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen –, stimmt das Ergebnis. Das geht im Matrizenrechner mit der Rechnung A · B.
Kann die inverse Matrix Brüche enthalten?
Ja, sobald die Determinante nicht 1 oder −1 ist, entstehen meist Brüche. Bei (4 7; 2 6) mit det = 10 enthält A⁻¹ zum Beispiel 3/5 und −7/10. Der Rechner zeigt sie exakt.
Was ist die Inverse der Einheitsmatrix?
Die Einheitsmatrix selbst, denn E · E = E. Ähnlich einfach ist es bei Diagonalmatrizen: Dort kehrst du einfach jeden Diagonaleintrag um.
Wofür braucht man die inverse Matrix?
Vor allem zum Lösen von Matrixgleichungen wie A · X = B: Die Lösung ist X = A⁻¹ · B. Außerdem beschreibt A⁻¹ die Umkehrung einer Abbildung, etwa die Drehung zurück in die Ausgangslage.
Ist (A · B)⁻¹ gleich A⁻¹ · B⁻¹?
Nein, die Reihenfolge dreht sich um: (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹. Das liegt daran, dass die Matrizenmultiplikation nicht vertauschbar ist.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
🔢 MatrizenrechnerProbe A · A⁻¹ und weitere Matrix-Rechnungen.
⚖️ LGS-RechnerGleichungssysteme direkt mit Gauß lösen.
🧠 CAS-RechnerTerme umformen und Gleichungen lösen.
Brüche aus dem Ergebnis vereinfachst du mit dem Brüche-kürzen-Rechner. Alle weiteren Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
So rechnet unser Rechner: Die Einträge werden als gekürzte Brüche gespeichert. Zuerst wird die Determinante exakt bestimmt; ist sie 0, gibt es keine Inverse. Sonst wird (A | E) mit dem Gauß-Jordan-Verfahren in Bruchrechnung auf (E | A⁻¹) gebracht. Der Rechenweg zeigt bis zu 14 Zeilenumformungen und bei 2×2 die Kurzformel. Alle Beispiele in diesem Text wurden nachgerechnet. Stand: November 2026