Skalarprodukt & Winkel zwischen Vektoren
Skalarprodukt online berechnen: a · b, Winkel zwischen Vektoren, Orthogonalität und Projektion – mit Rechenweg und Beispielen aus Geometrie und Physik.
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- Stand: November 2026
Mit dem Skalarprodukt-Rechner berechnest du das Skalarprodukt zweier Vektoren und daraus direkt den Winkel zwischen den Vektoren – in Grad und im Bogenmaß. Dazu zeigt er die Längen beider Vektoren, die Projektion von a auf b und ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Rechenweg setzt deine Zahlen Schritt für Schritt in die Formeln ein.
Kurz erklärt
Das Skalarprodukt ist a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ – eine Zahl, kein Vektor. Den Winkel liefert cos α = (a · b) ÷ (|a| · |b|). Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren senkrecht. Der Skalarprodukt-Rechner zeigt für (1 | 0 | 1) und (0 | 1 | 1): a · b = 1 und α = 60°.
So benutzt du den Skalarprodukt-Rechner
Der Rechenweg ist bereits aufgeklappt: erst die Summe der Produkte, dann cos α mit den gerundeten Längen, zuletzt α = arccos(…). Ist einer der Vektoren der Nullvektor, erscheint der Hinweis, dass beide Vektoren für den Winkel nicht der Nullvektor sein dürfen – ein Nullvektor hat keine Richtung. Das Vektorprodukt mit Fläche und Normalenvektor findest du im Kreuzprodukt-Rechner.
Skalarprodukt berechnen: Formel und Winkel
α = arccos((a · b) ÷ (|a| · |b|)) · |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Du multiplizierst die Koordinaten paarweise und addierst die Produkte. Teilst du das Ergebnis durch das Produkt der beiden Längen, erhältst du den Kosinus des Winkels. Die Länge eines Vektors ist der räumliche Satz des Pythagoras – in der Ebene genügt der Satz-des-Pythagoras-Rechner.
Was das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät
| Skalarprodukt | Winkel | Bedeutung |
|---|---|---|
| positiv | 0° bis unter 90° | spitzer Winkel, Vektoren zeigen grob in dieselbe Richtung |
| 0 | genau 90° | orthogonal (senkrecht) |
| negativ | über 90° bis 180° | stumpfer Winkel, Vektoren zeigen eher auseinander |
| = |a| · |b| | 0° | gleiche Richtung (parallel) |
| = −|a| · |b| | 180° | entgegengesetzt (antiparallel) |
„Das Skalarprodukt von (1 | 2 | 3) und (4 | 5 | 6) ist der Vektor (4 | 10 | 18).“
Die Produkte werden addiert: 4 + 10 + 18 = 32. Der Winkel zwischen beiden Vektoren beträgt 12,9332°.
Rechenbeispiele: Winkel zwischen Vektoren berechnen
🧮 Beispiel 1: Die Voreinstellung – genau 60°
a = (1 | 0 | 1), b = (0 | 1 | 1).
- a · b = 1·0 + 0·1 + 1·1 = 1
- |a| = |b| = √2 = 1,4142
- cos α = 1 ÷ (1,4142 · 1,4142) = 0,5
- α = arccos(0,5) = 60°
Ergebnis: a · b = 1, Winkel 60° bzw. 1,0472 rad, Projektion von a auf b 0,7071. Die beiden Vektoren sind Flächendiagonalen eines Würfels.
🧮 Beispiel 2: Prüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind
a = (1 | 2 | 3), b = (3 | 0 | −1). Stehen sie senkrecht aufeinander?
- a · b = 1·3 + 2·0 + 3·(−1) = 3 + 0 − 3 = 0
- |a| = √14 = 3,7417, |b| = √10 = 3,1623
Ergebnis: a · b = 0 – der Rechner meldet „Vektoren stehen senkrecht (orthogonal)“, Winkel 90° bzw. 1,5708 rad, Projektion 0.
🧮 Beispiel 3: Arbeit beim Ziehen eines Bollerwagens
Du ziehst mit der Kraft F = (10 | 5 | 0) N schräg nach oben, der Wagen rollt s = (4 | 0 | 0) m geradeaus. Die Arbeit ist W = F · s.
- a = F, b = s: a · b = 10·4 + 5·0 + 0·0 = 40
- |F| = √125 = 11,1803 N, |s| = 4 m
- cos α = 40 ÷ (11,1803 · 4) = 0,8944 → α = 26,5651°
- Projektion von F auf s: 40 ÷ 4 = 10
Ergebnis: W = 40 J. Nur 10 N der Zugkraft wirken in Fahrtrichtung, der Rest zieht nach oben. Der Zugwinkel beträgt 26,57°.
🧮 Beispiel 4: Stumpfer Winkel in der Ebene
a = (1 | 2 | 0), b = (−3 | 1 | 0) – zwei ebene Vektoren mit z = 0.
- a · b = 1·(−3) + 2·1 + 0·0 = −1
- |a| = √5 = 2,2361, |b| = √10 = 3,1623
- cos α = −1 ÷ (2,2361 · 3,1623) = −0,1414
Ergebnis: a · b = −1, Winkel 98,1301° (1,7127 rad), Projektion −0,3162. Das negative Vorzeichen zeigt: Der Winkel ist stumpf.
🧮 Beispiel 5: Raumdiagonale eines Würfels
Welchen Winkel bildet die Raumdiagonale (1 | 1 | 1) mit einer Kante (1 | 0 | 0)?
- a · b = 1, |a| = √3 = 1,7321, |b| = 1
- cos α = 1 ÷ 1,7321 = 0,5774
Ergebnis: 54,7356° – bei jedem Würfel, egal wie groß. Mit einer Flächendiagonale (1 | 1 | 0) sind es 35,2644°.
Tabelle: Kosinuswerte typischer Winkel
Kommen beim Rechnen diese Kosinuswerte heraus, kennst du den Winkel sofort. Andere Werte rechnest du mit dem Trigonometrie-Rechner oder dem wissenschaftlichen Taschenrechner (arccos bzw. cos⁻¹) um.
| Winkel α | cos α | Bogenmaß |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 30° | 0,866 | 0,5236 |
| 45° | 0,7071 | 0,7854 |
| 60° | 0,5 | 1,0472 |
| 90° | 0 | 1,5708 |
| 120° | −0,5 | 2,0944 |
| 180° | −1 | 3,1416 |
Winkel aus den Beispielen (Skala 0° bis 180°)
Orthogonalität und Projektion mit dem Skalarprodukt
Wie finde ich einen orthogonalen Vektor?
In der Ebene tauschst du die Koordinaten und setzt vor eine ein Minus: Zu (3 | 4) ist (−4 | 3) orthogonal, denn 3·(−4) + 4·3 = 0. Im Raum gibt es unendlich viele senkrechte Richtungen. Einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren zugleich senkrecht steht, liefert das Kreuzprodukt.
Skalare und vektorielle Projektion
Der Rechner zeigt die skalare Projektion (a · b) ÷ |b|: die Länge des „Schattens“ von a auf der Geraden durch b, mit Vorzeichen. Negativ heißt, der Schatten fällt entgegen der Richtung von b. Den Projektionsvektor selbst bekommst du, indem du b mit (a · b) ÷ |b|² multiplizierst. Im Bollerwagen-Beispiel: 40 ÷ 16 = 2,5, also 2,5 · (4 | 0 | 0) = (10 | 0 | 0).
💡 Tipp: Der Rechner gibt den Winkel zwischen Vektoren an, also 0° bis 180°. Der Schnittwinkel zweier Geraden liegt dagegen immer zwischen 0° und 90°: Kommt ein stumpfer Winkel heraus, nimmst du 180° − α. Aus 98,1301° werden so 81,8699°.
🤓 Wusstest du? Suchmaschinen und Sprach-KI vergleichen Texte oft über die sogenannte Kosinus-Ähnlichkeit: Jeder Text wird in einen Vektor mit sehr vielen Koordinaten übersetzt, und je kleiner der Winkel zwischen zwei Vektoren, desto ähnlicher die Inhalte. Die Formel ist genau die aus diesem Rechner – nur mit mehr als drei Komponenten.
Häufige Fehler beim Skalarprodukt
- ✅ Addieren nicht vergessen: Das Ergebnis ist eine einzelne Zahl, kein Vektor.
- ✅ Durch beide Längen teilen: cos α = (a · b) ÷ (|a| · |b|), nicht nur durch eine Länge.
- ✅ Taschenrechner auf Grad: arccos(0,5) ist 60° im Grad-Modus, aber 1,0472 im Bogenmaß.
- ✅ Vorzeichen mitnehmen: Ein negatives Skalarprodukt ist kein Rechenfehler, sondern zeigt einen stumpfen Winkel.
- ✅ Kein Nullvektor: Für einen Winkel brauchen beide Vektoren eine Richtung.
Häufige Fragen zum Skalarprodukt-Rechner
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Du multiplizierst die Koordinaten paarweise und addierst die Produkte: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Für (1 | 2 | 3) und (4 | 5 | 6) ergibt das 4 + 10 + 18 = 32.
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Mit cos α = (a · b) ÷ (|a| · |b|) und anschließend α = arccos(…). Bei (1 | 0 | 1) und (0 | 1 | 1) ist das Skalarprodukt 1, beide Längen sind √2, also cos α = 0,5 und α = 60°.
Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
Wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Dann schließen sie einen rechten Winkel von 90° ein. Beispiel: (1 | 2 | 3) · (3 | 0 | −1) = 3 + 0 − 3 = 0.
Was bedeutet ein negatives Skalarprodukt?
Der Winkel zwischen den Vektoren ist größer als 90°, also stumpf. Die Vektoren zeigen eher in entgegengesetzte Richtungen. Bei (1 | 2 | 0) und (−3 | 1 | 0) ist a · b = −1 und der Winkel 98,13°.
Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?
Das Skalarprodukt liefert eine Zahl und misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Das Kreuzprodukt liefert einen neuen Vektor, der auf beiden senkrecht steht, und seine Länge ist eine Fläche.
Was ist die Projektion von a auf b?
Die skalare Projektion (a · b) ÷ |b| gibt an, wie lang der Anteil von a in Richtung b ist. Sie kann negativ sein, wenn der Winkel stumpf ist. Der Rechner zeigt sie mit vier Nachkommastellen.
Kann ich das Skalarprodukt für 2D-Vektoren berechnen?
Ja, setze einfach die z-Koordinaten auf 0. Für (3 | 4) und (4 | 3) erhältst du 24, beide Längen sind 5, der Winkel beträgt 16,2602°.
Welche physikalische Bedeutung hat das Skalarprodukt?
Ein bekanntes Beispiel ist die mechanische Arbeit W = F · s: Nur der Teil der Kraft, der in Wegrichtung zeigt, verrichtet Arbeit. Steht die Kraft senkrecht zum Weg, ist die Arbeit 0.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
📏 Trigonometrie-RechnerSinus, Kosinus, Tangens und Winkel.
🔢 MatrizenrechnerZeile mal Spalte – Skalarprodukte im Großformat.
📐 Satz des PythagorasLängen im rechtwinkligen Dreieck.
Jeder Eintrag eines Matrixprodukts ist übrigens ein Skalarprodukt aus Zeile und Spalte – mehr dazu im Matrizenrechner. Wurzeln aus den Längen ziehst du mit dem Wurzelrechner. Alle Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
So rechnet unser Rechner: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, Längen |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Der Kosinus wird auf −1 bis 1 begrenzt und mit arccos in Grad und Bogenmaß umgerechnet; die Projektion ist (a · b) ÷ |b|. Ist der Betrag des Skalarprodukts kleiner als 10⁻¹², meldet der Rechner Orthogonalität. Gerechnet wird mit Gleitkommazahlen im Browser; Winkel, Längen und Projektion werden auf vier Nachkommastellen gerundet, der Winkel im Kurzergebnis auf zwei. Alle Beispiele in diesem Text wurden nachgerechnet. Stand: November 2026