Integralrechner
Bestimmte Integrale online berechnen: Stammfunktion, F(b) − F(a), Simpson-Probe und die echte Fläche bei Vorzeichenwechseln – mit sechs durchgerechneten Beispielen.
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- Stand: November 2026
Mit dem Integralrechner berechnest du bestimmte Integrale und die Fläche unter einer Kurve – samt Stammfunktion, Rechenweg und Graph mit eingefärbter Fläche. Jedes Ergebnis wird zusätzlich numerisch mit der Simpson-Regel geprüft, und liegt ein Teil des Graphen unter der x-Achse, rechnet der Rechner die echte Fläche getrennt aus. Alles läuft sofort beim Tippen in deinem Browser.
Kurz erklärt
Ein bestimmtes Integral berechnest du mit dem Hauptsatz: Stammfunktion F bilden, dann F(b) − F(a). Beispiel: ∫ x² dx von 0 bis 3 = 3³/3 − 0 = 9. Teile unter der x-Achse zählen dabei negativ. Die echte Fläche weist der Integralrechner deshalb separat aus.
So benutzt du den Integralrechner
x^2 + 1 oder sin(x). Voreingestellt ist x^2.pi, pi/2 oder sqrt(2).Der Wert steht mit bis zu sechs Nachkommastellen da; ist das Ergebnis ein Bruch oder enthält es e oder π, zeigt der Rechner zusätzlich die exakte Form, etwa „exakt: 16/3“ oder bei ∫ eˣ von 0 bis 1 die Form −1 + e. Das Kopier-Symbol übernimmt den Wert mit acht Nachkommastellen. Der Graph färbt die Fläche zwischen a und b ein. Unter „So wird gerechnet“ stehen Stammfunktion, F(b) − F(a) und die Simpson-Probe. „Teilen“ erzeugt einen Link mit deinen Eingaben, „Drucken“ eine Papierfassung. Mehr Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
Integral berechnen: die Formel
wobei F′(x) = f(x)
Das Integral ist ursprünglich eine Summe: Du zerlegst die Fläche unter dem Graphen in sehr schmale Streifen der Breite dx, rechnest Höhe mal Breite und addierst alles. Werden die Streifen immer schmaler, entsteht im Grenzwert das Integral. Der Hauptsatz macht daraus eine einfache Rechnung: Du brauchst nur eine Stammfunktion F, also eine Funktion, deren Ableitung f ist. Wie du sie findest, zeigt der Stammfunktion-Rechner mit allen Integrationsregeln.
Wichtig: Das bestimmte Integral ist eine Bilanz. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen darunter negativ. Willst du die tatsächliche Fläche wissen, musst du an den Nullstellen trennen und die Beträge der Teilintegrale addieren. Genau das erledigt der Integralrechner automatisch.
„∫ x³ dx von −2 bis 2 ergibt 0 – also schließt der Graph keine Fläche mit der x-Achse ein.“
Die Teile links (−4) und rechts (+4) heben sich nur auf. Die echte Fläche ist 8. Der Rechner meldet dazu „Vorzeichenwechsel bei x = 0 – Teilflächen positiv addiert“.
Rechenbeispiele mit dem Integralrechner
🧮 Beispiel 1: Fläche unter der Normalparabel
Die Voreinstellung: f(x) = x² zwischen 0 und 3.
- Stammfunktion: F(x) = x³/3 (der Rechner schreibt (1/3) · x^3)
- F(3) − F(0) = 27/3 − 0 = 9
- Simpson-Probe: 9 – passt
Ergebnis: ∫ = 9, Fläche ebenfalls 9, „kein Vorzeichenwechsel im Intervall“. Tauschst du die Grenzen (a = 3, b = 0), wird das Integral −9, die Fläche bleibt 9.
🧮 Beispiel 2: Sinusbogen mit pi als Grenze
Tom will wissen, wie groß die Fläche unter einem Sinusbogen ist. Eingabe: sin(x), a = 0, b = pi.
- Stammfunktion: F(x) = −cos(x)
- F(π) − F(0) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2
- Der Rechner zeigt die Grenze als 3,1416 an: „∫ von 0 bis 3,1416“
Ergebnis: Ein Sinusbogen hat genau die Fläche 2. Über eine ganze Periode von 0 bis 2pi ist das Integral dagegen 0, die Fläche 4. Sinuswerte prüfst du mit dem Trigonometrie-Rechner.
🧮 Beispiel 3: Fläche mit Vorzeichenwechsel
Eine typische Klausuraufgabe: Fläche zwischen f(x) = x² − 4 und der x-Achse im Intervall von −3 bis 3. Eingabe: x^2-4, a = −3, b = 3.
- F(x) = x³/3 − 4x → Integral F(3) − F(−3) = −3 − 3 = −6
- Nullstellen im Intervall: x = −2 und x = 2
- Teilflächen: von −3 bis −2 → 7/3, von −2 bis 2 → |−32/3| = 32/3, von 2 bis 3 → 7/3
- Summe: 7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3
Ergebnis: Integral −6, aber Fläche 15,333333 (= 46/3). Der Rechner meldet „Vorzeichenwechsel bei x = −2; 2 – Teilflächen positiv addiert“. Die Nullstellen selbst findet auch der Nullstellenrechner.
🧮 Beispiel 4: Physik – Weg aus der Geschwindigkeit
Ein Fahrzeug fährt mit v(t) = 3t² + 2 Metern pro Sekunde. Welche Strecke legt es in den ersten 2 Sekunden zurück? Eingabe: 3x^2+2, a = 0, b = 2.
- Stammfunktion: F(x) = x³ + 2x
- F(2) − F(0) = 8 + 4 − 0 = 12
- Mittlere Geschwindigkeit: 12 m ÷ 2 s = 6 m/s
Ergebnis: 12 Meter in 2 Sekunden. Teilst du das Integral durch die Intervalllänge, erhältst du den Mittelwert der Funktion – hier die Durchschnittsgeschwindigkeit von 6 m/s.
🧮 Beispiel 5: Parabelförmiger Torbogen
Ein Tor ist 4 m breit und 2 m hoch, sein oberer Rand folgt der Parabel f(x) = −0,5x² + 2x. Wie groß ist die Torfläche? Eingabe: -0,5x^2+2x, a = 0, b = 4.
- F(x) = −x³/6 + x²
- F(4) − F(0) = −64/6 + 16 = 16/3
- Kontrolle mit der Faustregel für Parabelbögen: 2/3 · Breite · Höhe = 2/3 · 4 · 2 = 16/3
Ergebnis: 5,333333 m², der Rechner ergänzt „exakt: 16/3“. Für Farbe oder Folie rechnest du mit rund 5,3 m².
🧮 Beispiel 6: Glockenkurve ohne Stammfunktion
Sara braucht für Statistik ∫ e^(−x²) dx von 0 bis 1. Eingabe: e^(-x^2), a = 0, b = 1.
- Für e^(−x²) gibt es keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen
- Der Rechner meldet „Stammfunktion: nicht elementar – nur numerisch lösbar“
- Er rechnet deshalb direkt mit der Simpson-Regel und 2.000 Abschnitten
Ergebnis: 0,746824 mit dem Hinweis „numerisch berechnet (Simpson-Regel)“. Wahrscheinlichkeiten unter der Normalverteilung bestimmst du bequemer mit dem Z-Wert-Rechner.
Tabelle: wichtige bestimmte Integrale
Diese Werte tauchen in Schule und Studium immer wieder auf. Du kannst jeden davon im Integralrechner nachprüfen.
| Integral | Stammfunktion | exakt | Dezimal |
|---|---|---|---|
| ∫ x dx von 0 bis 1 | x²/2 | 1/2 | 0,5 |
| ∫ x² dx von 0 bis 1 | x³/3 | 1/3 | 0,333333 |
| ∫ eˣ dx von 0 bis 1 | eˣ | e − 1 | 1,718282 |
| ∫ 1/x dx von 1 bis e | ln(x) | 1 | 1 |
| ∫ cos(x) dx von 0 bis π/2 | sin(x) | 1 | 1 |
| ∫ sin(x) dx von 0 bis π | −cos(x) | 2 | 2 |
| ∫ e^(−x²) dx von 0 bis 1 | nicht elementar | – | 0,746824 |
Integral und Fläche: der wichtige Unterschied
Viele Fehler in Klausuren entstehen, weil Integral und Fläche verwechselt werden. Das Integral ist eine orientierte Größe mit Vorzeichen, die Fläche ist immer positiv. Nur wenn der Graph im ganzen Intervall oberhalb der x-Achse liegt, sind beide gleich.
| Funktion und Intervall | Integral | Fläche | Vorzeichenwechsel bei |
|---|---|---|---|
| x² von 0 bis 3 | 9 | 9 | – |
| x³ von −2 bis 2 | 0 | 8 | x = 0 |
| sin(x) von 0 bis 2π | 0 | 4 | x = π |
| x² − 4 von −3 bis 3 | −6 | 46/3 ≈ 15,33 | x = −2 und x = 2 |
| 4 − x² von −2 bis 2 | 32/3 ≈ 10,67 | 32/3 ≈ 10,67 | – (Nullstellen nur an den Rändern) |
Teilflächen von x² − 4 zwischen −3 und 3
Als Integral gerechnet: 2,33 − 10,67 + 2,33 = −6. Als Fläche: 2,33 + 10,67 + 2,33 = 15,33. Der Integralrechner zeigt dir beide Zahlen nebeneinander, damit du in der Aufgabe die richtige nimmst.
Welche Zahl aus dem Integralrechner verlangt die Aufgabe?
- „Berechne das Integral“: den Wert mit Vorzeichen – das große Ergebnis oben im Rechner.
- „Berechne den Flächeninhalt“: die Fläche – die Kachel „Fläche zwischen Graph und x-Achse“.
- „Fläche zwischen zwei Graphen“: gib die Differenz f(x) − g(x) als Funktion ein und nimm die Schnittstellen als Grenzen.
Wie genau ist der Integralrechner? Die Simpson-Probe
Der Rechner verlässt sich nicht allein auf die Formel. Er teilt das Intervall zusätzlich in 2.000 gleich breite Abschnitte und nähert die Kurve in je zwei Abschnitten durch eine Parabel an. Das ist die Simpson-Regel:
h = (b − a) ÷ n, n = 2.000
Für Polynome bis zum Grad 3 ist die Simpson-Regel sogar exakt. Bei glatten Funktionen liegt sie meist schon in den ersten sechs Nachkommastellen richtig. Stimmen F(b) − F(a) und die Simpson-Summe überein, nimmt der Rechner den Wert aus der Stammfunktion. Gibt es keine elementare Stammfunktion, bleibt der numerische Wert.
🤓 Wusstest du? Das Integralzeichen ∫ ist ein langgezogenes S – für „summa“, die Summe. Gottfried Wilhelm Leibniz hat es im 17. Jahrhundert eingeführt. Und obwohl e^(−x²) keine elementare Stammfunktion hat, ist die Fläche unter der ganzen Glockenkurve von −∞ bis +∞ genau √π ≈ 1,7725.
💡 Tipp: Bei gebrochenrationalen Funktionen wie (x + 3) ÷ (x² − 1) hilft oft erst eine Zerlegung in einfache Brüche. Die macht der Partialbruchzerlegung-Rechner – danach lassen sich die Teile einzeln integrieren.
⚠️ Achtung bei Polstellen: Liegt zwischen a und b eine Stelle, an der f gegen unendlich geht – etwa x = 0 bei 1/x –, existiert das Integral im üblichen Sinn nicht. Der Rechner erkennt solche Polstellen und meldet dann „existiert nicht (als gewöhnliches Integral)“ statt einer falschen Zahl.
Häufige Fehler beim Integrieren
- ✅ Integral ist nicht Fläche: Bei Vorzeichenwechseln an den Nullstellen trennen.
- ✅ Reihenfolge F(b) − F(a): obere Grenze zuerst – vertauschte Grenzen drehen das Vorzeichen.
- ✅ F(a) nicht vergessen: Auch wenn a = 0 ist, ist F(0) nicht immer 0 – bei −cos(x) ist F(0) = −1.
- ✅ Bogenmaß bei Winkelfunktionen: Grenzen wie 90° als pi/2 eingeben.
- ✅ Klammern im Exponenten: e^(-x^2) statt e^-x^2.
- ✅ Definitionslücken prüfen: Keine Polstelle zwischen a und b.
Häufige Fragen zum Integralrechner
Was berechnet ein Integral?
Ein bestimmtes Integral addiert unendlich viele schmale Streifen unter einem Graphen. Es liefert die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse: Teile oberhalb zählen positiv, Teile unterhalb negativ. In der Physik ergibt das Integral der Geschwindigkeit zum Beispiel die zurückgelegte Strecke.
Wie berechne ich ein bestimmtes Integral?
Bilde eine Stammfunktion F von f, setze die obere Grenze b und die untere Grenze a ein und rechne F(b) − F(a). Für x² von 0 bis 3 ist F(x) = x³/3, also 9 − 0 = 9.
Was ist der Unterschied zwischen Integral und Fläche?
Das Integral berücksichtigt das Vorzeichen, die Fläche nicht. Liegt ein Teil des Graphen unter der x-Achse, ist das Integral kleiner als die Fläche oder sogar negativ. Der Integralrechner zeigt deshalb beide Werte an.
Kann ein Integral negativ sein?
Ja. Liegt der Graph überwiegend unter der x-Achse oder ist die untere Grenze größer als die obere, wird das Integral negativ. ∫ x² − 4 von −3 bis 3 ergibt zum Beispiel −6.
Wie berechne ich die Fläche zwischen zwei Funktionen?
Bilde die Differenz f(x) − g(x) und integriere sie zwischen den Schnittstellen der beiden Graphen. Wechselt die Differenz im Intervall das Vorzeichen, addierst du die Beträge der Teilintegrale – das macht der Rechner in der Kachel „Fläche“ automatisch.
Kann ich pi als Grenze eingeben?
Ja. Die Grenzen dürfen Ausdrücke wie pi, pi/2, 2pi oder sqrt(2) sein. Der Rechner wandelt sie in Dezimalzahlen um und zeigt sie gerundet an, π etwa als 3,1416.
Was bedeutet „nicht elementar“?
Für manche Funktionen wie e^(−x²) oder sin(x)/x gibt es keine Stammfunktion, die sich aus Potenzen, Wurzeln, e-, ln- und Winkelfunktionen zusammensetzen lässt. Bestimmte Integrale berechnet der Rechner dann numerisch mit der Simpson-Regel.
Was ist die Simpson-Regel?
Die Simpson-Regel ist ein Verfahren zur numerischen Integration. Sie ersetzt die Kurve abschnittsweise durch Parabelstücke und addiert deren Flächen. Der Integralrechner nutzt sie mit 2.000 Abschnitten als Probe für jedes Ergebnis.
Ist der Integralrechner kostenlos?
Ja, der Integralrechner ist kostenlos und ohne Anmeldung nutzbar. Die Berechnung läuft vollständig in deinem Browser.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
f′ AbleitungsrechnerDer Gegenweg: Ableitungen bis zur 5. Ordnung mit Tangente.
A/x PartialbruchzerlegungBrüche zerlegen, damit sie sich leichter integrieren lassen.
x₀ NullstellenrechnerSchnittstellen mit der x-Achse finden – die Grenzen jeder Teilfläche.
So rechnet unser Rechner: Die Stammfunktion bestimmt die freie Bibliothek nerdamer (MIT-Lizenz) symbolisch; sie liegt auf netzblogr.de selbst, wird nur auf diesen Mathe-Seiten geladen und rechnet vollständig in deinem Browser. Das Integral ergibt sich aus F(b) − F(a) und wird mit der Simpson-Regel (2.000 Abschnitte) geprüft; weichen beide Werte ab oder ist die Stammfunktion nicht elementar, gilt der numerische Wert. Vorzeichenwechsel sucht der Rechner, indem er das Intervall in 1.000 Stücke teilt und jede Nullstelle durch Halbieren eingrenzt; die Fläche ist die Summe der Beträge der Teilintegrale. Alle Beispiele wurden von Hand und mit dem Rechner nachgerechnet. Stand: November 2026