Trigonometrie-Rechner: sin, cos, tan
Sinus, Kosinus und Tangens berechnen, Winkel mit arcsin, arccos und arctan bestimmen und rechtwinklige Dreiecke lösen – mit exakten Werten, Einheitskreis und Rechenweg.
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- Stand: November 2026
Mit dem Trigonometrie-Rechner berechnest du Sinus, Kosinus und Tangens jedes Winkels – in Grad oder im Bogenmaß, mit exakten Werten wie ½·√3 und einer Skizze am Einheitskreis. Außerdem bestimmst du mit arcsin, arccos und arctan den Winkel zu einem bekannten Wert und löst rechtwinklige Dreiecke aus zwei Angaben. Praktisch für Hausaufgaben, Klausurvorbereitung, Studium und alle, die eine Höhe oder einen Winkel ausmessen wollen.
Kurz erklärt
Ein Trigonometrie-Rechner bestimmt die Winkelfunktionen. Im rechtwinkligen Dreieck gilt sin α = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, cos α = Ankathete ÷ Hypotenuse und tan α = Gegenkathete ÷ Ankathete. Den Winkel zu einem Verhältnis liefern arcsin, arccos und arctan. Wichtig ist die Einheit: sin(30°) = 0,5, aber sin(30 rad) ≈ −0,988.
So benutzt du den Trigonometrie-Rechner
Im Reiter „sin, cos, tan“ siehst du immer alle Winkelfunktionen gleichzeitig: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens, dazu den Winkel im Bogenmaß und den Tangens als Steigung in Prozent. Eine Skizze zeigt den Winkel am Einheitskreis, die aufklappbare Tabelle „Exakte Werte wichtiger Winkel“ hebt deinen Winkel hervor, wenn er dort vorkommt. Unter „So wird gerechnet“ steht der Rechenweg, mit „Teilen“ verschickst du deine Eingaben als Link. Weitere Werkzeuge für Geometrie und Algebra findest du bei den Matherechnern.
Trigonometrie-Rechner: Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens
tan α = sin α ÷ cos α · cot α = 1 ÷ tan α
Die Bezeichnungen hängen immer vom betrachteten Winkel α ab. Die Gegenkathete a liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete b liegt direkt an ihm. Die Hypotenuse c liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. Der Rechner zeigt dazu die Merkhilfe „GAGA HühnerHof AG“: Gegenkathete ÷ Hypotenuse = Sinus, Ankathete ÷ Hypotenuse = Kosinus, Gegenkathete ÷ Ankathete = Tangens.
Winkelfunktionen am Einheitskreis
Für Winkel über 90° reicht das Dreieck nicht mehr. Dann hilft der Einheitskreis mit dem Radius 1: Ein Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten (cos α | sin α). Deshalb liegen Sinus und Kosinus immer zwischen −1 und 1, und nach dem Satz des Pythagoras gilt für jeden Winkel sin² α + cos² α = 1. Der Tangens ist das Verhältnis sin ÷ cos – bei 90° und 270° ist cos = 0, der Tangens also nicht definiert.
Grad und Bogenmaß im Trigonometrie-Rechner
Das Bogenmaß misst einen Winkel als Bogenlänge am Einheitskreis. Ein voller Kreis hat den Umfang 2π, also gilt 360° = 2π rad. Umrechnen: rad = Grad × π ÷ 180 und Grad = rad × 180 ÷ π. Den Zusammenhang zwischen Radius, Bogen und Umfang zeigt auch der Kreisflächen-Rechner.
Der Taschenrechner steht auf RAD, du tippst sin(30) und erhältst −0,988. Gemeint waren aber 30 Grad – gerechnet wurde mit 30 rad, das sind rund 1.718,87°.
Einheit „Grad (°)“ wählen: sin(30°) = 0,5, exakt ½. Im Bogenmaß entspricht das sin(π ÷ 6) = sin(0,5236) = 0,5.
Rechenbeispiele mit dem Trigonometrie-Rechner
🧮 Beispiel 1: Wie hoch reicht die Leiter?
Lena lehnt eine 4 m lange Leiter im Winkel von 70° zum Boden an die Hauswand.
- Reiter „Rechtwinkliges Dreieck“: Hypotenuse c = 4, Winkel α = 70 (a und b leeren)
- Höhe a = c · sin α = 4 · sin 70° = 4 · 0,9397 = 3,7588 m
- Abstand zur Wand b = c · cos α = 4 · 0,3420 = 1,3681 m
Ergebnis: Die Leiter reicht 3,76 m hoch, der Fuß steht 1,37 m vor der Wand. 70° liegen im für Anlegeleitern empfohlenen Bereich von etwa 65 bis 75 Grad.
🧮 Beispiel 2: Baumhöhe mit dem Tangens schätzen
Jonas steht 15 m vom Stamm entfernt und peilt die Baumspitze unter 32° an. Seine Augen sind 1,60 m über dem Boden.
- Ankathete b = 15, Winkel α = 32
- a = b · tan α = 15 · 0,6249 = 9,373 m
- Augenhöhe addieren: 9,373 + 1,60 = 10,973 m
Ergebnis: Der Baum ist rund 10,97 m hoch. Der Rechner nennt zusätzlich die Sichtlinie c = 17,6877 m und den Winkel β = 58°.
🧮 Beispiel 3: Wie steil ist die Treppe?
Eine Treppe hat 18 cm Stufenhöhe und 27 cm Auftritt. Wie groß ist der Steigungswinkel?
- Gegenkathete a = 18, Ankathete b = 27
- α = arctan(18 ÷ 27) = arctan(0,6667) = 33,69°
- Schräge pro Stufe c = √(18² + 27²) = 32,45 cm, β = 56,31°
Ergebnis: Die Treppe steigt mit 33,69°. Die Schrittmaßregel 2 × 18 + 27 = 63 cm liegt im üblichen Richtwertbereich von 59 bis 65 cm.
🧮 Beispiel 4: Winkel aus dem Sinuswert
In einer Aufgabe gilt sin α = 0,6. Gesucht sind alle Winkel zwischen 0° und 360°.
- Reiter „Winkel berechnen“, Funktion arcsin, Wert 0,6
- Hauptwert: arcsin(0,6) = 36,869898° = 0,643501 rad
- Zweite Lösung: 180° − 36,8699° = 143,1301°
Ergebnis: α ≈ 36,87° oder α ≈ 143,13°. Beide Winkel haben denselben Sinus – das zeigt die Skizze am Einheitskreis.
🧮 Beispiel 5: Rechnen im Bogenmaß
Im Studium taucht sin(1) auf – gemeint ist 1 rad.
- Reiter „sin, cos, tan“: Winkel 1, Einheit „Bogenmaß (rad)“
- Umrechnung: 1 × 180 ÷ π = 57,29578°
- sin = 0,8414709848, cos = 0,5403023059, tan = 1,5574077247
Ergebnis: sin(1 rad) ≈ 0,8415. Mit der Einheit Grad käme sin(1°) ≈ 0,0175 heraus – ein völlig anderer Wert.
Tabellen: Werte von Sinus, Kosinus und Tangens
Wichtige Winkel von 0° bis 360°
Die exakten Werte solltest du für Klausuren kennen. Dezimalwerte sind auf vier Stellen gerundet – runden kannst du mit dem Zahlen-runden-Rechner nachprüfen.
| Winkel | Bogenmaß | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 ≈ 0,5236 | ½ = 0,5 | ½·√3 ≈ 0,8660 | ⅓·√3 ≈ 0,5774 |
| 45° | π/4 ≈ 0,7854 | ½·√2 ≈ 0,7071 | ½·√2 ≈ 0,7071 | 1 |
| 60° | π/3 ≈ 1,0472 | ½·√3 ≈ 0,8660 | ½ = 0,5 | √3 ≈ 1,7321 |
| 90° | π/2 ≈ 1,5708 | 1 | 0 | nicht definiert |
| 120° | 2π/3 ≈ 2,0944 | ½·√3 ≈ 0,8660 | −½ = −0,5 | −√3 ≈ −1,7321 |
| 135° | 3π/4 ≈ 2,3562 | ½·√2 ≈ 0,7071 | −½·√2 ≈ −0,7071 | −1 |
| 150° | 5π/6 ≈ 2,6180 | ½ = 0,5 | −½·√3 ≈ −0,8660 | −⅓·√3 ≈ −0,5774 |
| 180° | π ≈ 3,1416 | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 ≈ 4,7124 | −1 | 0 | nicht definiert |
| 360° | 2π ≈ 6,2832 | 0 | 1 | 0 |
Die Wurzelwerte selbst, etwa √3 ≈ 1,7321, berechnet der Wurzelrechner mit beliebig vielen Stellen.
Vorzeichen in den vier Quadranten
| Quadrant | Winkelbereich | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° bis 90° | + | + | + |
| II | 90° bis 180° | + | − | − |
| III | 180° bis 270° | − | − | + |
| IV | 270° bis 360° | − | + | − |
Sinus und Kosinus verstehen: Verlauf und Symmetrien
Der Sinus wächst nicht gleichmäßig mit dem Winkel. Von 0° auf 30° steigt er um 0,5, von 60° auf 90° nur noch um rund 0,134. Die Grafik zeigt den Verlauf im ersten Quadranten:
Sinuswerte von 0° bis 90°
Welche Symmetrien helfen beim Rechnen?
- sin(180° − α) = sin α – deshalb haben 30° und 150° beide den Sinus 0,5.
- cos(360° − α) = cos α – 60° und 300° haben beide den Kosinus 0,5.
- tan(α + 180°) = tan α – der Tangens wiederholt sich alle 180°, Sinus und Kosinus erst alle 360°.
- cos α = sin(90° − α) – der Kosinus eines Winkels ist der Sinus seines Ergänzungswinkels.
🤓 Wusstest du? Für kleine Winkel im Bogenmaß gilt sin x ≈ x. So ist sin(0,1) = 0,099833 – fast genau 0,1. Auch 10° = 0,174533 rad liegen nah an sin(10°) = 0,173648. Physik und Technik nutzen diese Kleinwinkelnäherung zum Beispiel beim Pendel.
Umkehrfunktionen: Winkel berechnen mit arcsin, arccos und arctan
Kennst du das Seitenverhältnis und suchst den Winkel, brauchst du die Umkehrfunktionen. Auf dem Taschenrechner heißen sie oft sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹. Weil sich die Winkelfunktionen wiederholen, gibt es zu einem Wert meist zwei Winkel zwischen 0° und 360°. Jeder Rechner liefert zunächst nur den Hauptwert.
| Funktion | erlaubte Werte | Hauptwert | zweite Lösung |
|---|---|---|---|
| arcsin | −1 bis 1 | −90° bis 90° | 180° − α |
| arccos | −1 bis 1 | 0° bis 180° | 360° − α |
| arctan | jede Zahl | zwischen −90° und 90° | α + 180° |
Beispiel arccos(0,6): Der Hauptwert ist 53,1301°, die zweite Lösung 360° − 53,1301° = 306,8699°. Beim Tangens zeigt der Rechner im Feld „Als Steigung“ zusätzlich, welcher Prozentwert dem Winkel entspricht – mehr dazu beim Tangens-Rechner, der sich ganz auf Steigungen konzentriert.
⚠️ Achtung bei negativen Werten: arcsin(−0,5) ergibt als Hauptwert −30°. Unter „Alle Lösungen 0–360°“ nennt der Rechner deshalb 210° und 330° – denn −30° entspricht 330°. Für arcsin und arccos sind nur Werte von −1 bis 1 erlaubt – sonst erscheint der Hinweis „Sinus und Kosinus liegen immer zwischen −1 und 1“.
Häufige Fehler beim Rechnen mit Winkelfunktionen
- ✅ Einheit geprüft? Grad und Bogenmaß sind die häufigste Fehlerquelle. In Schulaufgaben mit „°“ immer Grad wählen.
- ✅ Gegen- und Ankathete richtig zugeordnet? Beide hängen vom Winkel ab. Für β tauschen sie die Rollen.
- ✅ Rechter Winkel vorhanden? sin = G ÷ H gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Sonst brauchst du Sinus- oder Kosinussatz.
- ✅ Zweite Lösung bedacht? sin α = 0,5 hat zwischen 0° und 360° zwei Lösungen: 30° und 150°.
- ✅ Nur zwei Werte eingetragen? Im Dreiecks-Reiter sind a = 3 und b = 4 vorbelegt. Leere ein Feld, bevor du ein anderes füllst.
- ✅ Hypotenuse die längste Seite? Sonst meldet der Rechner „Die Hypotenuse muss die längste Seite sein“.
💡 Tipp: Willst du Winkelfunktionen in längeren Termen verwenden, etwa 3 · sin(40°) + 2, rechnest du das am bequemsten im wissenschaftlichen Taschenrechner. Für einzelne Werte samt exakter Darstellung ist der Trigonometrie-Rechner übersichtlicher.
Häufige Fragen zum Trigonometrie-Rechner
Wie berechnet man Sinus, Kosinus und Tangens?
Im rechtwinkligen Dreieck teilst du zwei Seiten: Sinus = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, Kosinus = Ankathete ÷ Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete ÷ Ankathete. Für einen bekannten Winkel liefert der Trigonometrie-Rechner alle drei Werte auf einmal, zum Beispiel sin(30°) = 0,5.
Was ist der Unterschied zwischen Grad und Bogenmaß?
Grad teilen den Vollkreis in 360 Teile, das Bogenmaß misst den Winkel als Bogenlänge am Kreis mit Radius 1. 360° entsprechen 2π rad, 180° entsprechen π rad. Du rechnest mit Grad × π ÷ 180 ins Bogenmaß um.
Warum ist tan(90°) nicht definiert?
Der Tangens ist sin ÷ cos. Bei 90° ist der Kosinus 0, und durch 0 kann man nicht teilen. Nähert sich der Winkel 90°, wächst der Tangens unbegrenzt – bei 89° ist er schon etwa 57,29.
Wie berechne ich einen Winkel aus zwei Seiten?
Wähle die passende Umkehrfunktion: Bei Gegenkathete und Ankathete arctan(a ÷ b), bei Gegenkathete und Hypotenuse arcsin(a ÷ c), bei Ankathete und Hypotenuse arccos(b ÷ c). Im Reiter „Rechtwinkliges Dreieck“ trägst du einfach beide Seiten ein.
Was ist der Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Ein Punkt auf dem Kreis unter dem Winkel α hat die Koordinaten (cos α | sin α). So lassen sich Sinus und Kosinus für jeden Winkel definieren, auch über 90°.
Warum zeigt mein Taschenrechner bei sin(30) −0,988?
Dein Taschenrechner steht auf Bogenmaß (RAD) und rechnet mit 30 rad statt 30°. Stelle ihn auf DEG um, dann erhältst du 0,5. Im Trigonometrie-Rechner wählst du die Einheit direkt neben dem Winkel.
Was ist der Kotangens?
Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens: cot α = cos α ÷ sin α = 1 ÷ tan α. Im rechtwinkligen Dreieck entspricht er Ankathete ÷ Gegenkathete. Bei 0° und 180° ist er nicht definiert.
Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?
Multipliziere den Winkel mit π und teile durch 180. 45° sind also 45 × π ÷ 180 = π/4 ≈ 0,7854 rad. Umgekehrt rechnest du rad × 180 ÷ π.
Wann brauche ich Sinussatz oder Kosinussatz?
Bei Dreiecken ohne rechten Winkel. Der Sinussatz verbindet Seiten mit den gegenüberliegenden Winkeln, der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras. Der Reiter „Rechtwinkliges Dreieck“ deckt nur Dreiecke mit 90° ab.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
📐 Satz des Pythagoras RechnerHypotenuse oder Kathete berechnen, rechten Winkel prüfen.
🧮 Wissenschaftlicher Taschenrechnersin, cos, tan, Potenzen und Logarithmen in einem Term.
⛰️ Gefälle-RechnerGefälle in Prozent, Grad und Promille für Bau und Garten.
Früher las man Winkelfunktionen aus gedruckten Tafeln ab und schätzte Zwischenwerte – wie das funktioniert, zeigt der Interpolieren-Rechner.
So rechnet unser Rechner: Der Winkel wird bei Bedarf mit Grad × π ÷ 180 ins Bogenmaß umgerechnet, dann berechnet der Browser Sinus und Kosinus; Tangens und Kotangens entstehen als sin ÷ cos und cos ÷ sin. Beträge unter 10⁻¹² gelten als 0, deshalb ist der Tangens bei 90° und 270° „nicht definiert“. Exakte Werte zeigt der Rechner für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° und 360° (auch für Vielfache von 360°), Ergebnisse sonst mit bis zu zehn Nachkommastellen. Umkehrfunktionen liefern den Hauptwert sowie die zweite Lösung 180° − α (arcsin), 360° − α (arccos) bzw. α + 180° (arctan). Im Dreieck gelten sin = a ÷ c, cos = b ÷ c, tan = a ÷ b und β = 90° − α. Grundlage sind die allgemeinen Regeln der Trigonometrie · Stand: November 2026