Logarithmus-Rechner
Logarithmus zu jeder Basis berechnen und Exponentialgleichungen wie 1,05ˣ = 2 lösen – mit Probe, Rechenweg, Logarithmusgesetzen und Verdopplungszeit.
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- Stand: November 2026
Mit dem Logarithmus-Rechner berechnest du den Logarithmus jeder positiven Zahl – zur Basis 10 (lg), zur Basis e (ln), zur Basis 2 oder zu jeder eigenen Basis. Ein zweiter Modus löst Exponentialgleichungen wie 1,05ˣ = 2 und beantwortet damit Alltagsfragen wie: Wann hat sich mein Geld verdoppelt? Ergebnis auf acht Nachkommastellen, Probe und Rechenweg inklusive.
Kurz erklärt
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um x zu erhalten? log₁₀(1.000) = 3, weil 10³ = 1.000. Für jede Basis gilt der Basiswechsel log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b). Der Logarithmus-Rechner zeigt lg, ln und log₂ gleichzeitig und rechnet die Probe.
So benutzt du den Logarithmus-Rechner
Im Modus „Exponentialgleichung“ trägst du „Basis b“ und „Ergebnis y“ ein, etwa 1,05 und 2 für eine Verdopplung bei 5 % Wachstum. Der Rechner nennt x mit sechs Nachkommastellen und rechnet die Probe. Unter „So wird gerechnet“ steht jeweils der Basiswechsel mit Zahlen. Über „Teilen“ und „Drucken“ gibst du deine Rechnung weiter. Mehr Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
Logarithmus berechnen: Definition und Formel
log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b)
Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Beim Potenzieren kennst du Basis und Hochzahl und suchst das Ergebnis: 2⁵ = 32. Beim Logarithmus kennst du Basis und Ergebnis und suchst die Hochzahl: log₂(32) = 5. Beim Wurzelziehen suchst du dagegen die Basis – dafür gibt es den Wurzelrechner.
Die Bausteine heißen Basis (b), Numerus oder Argument (x) und Logarithmus (y). Die Basis muss positiv und ungleich 1 sein, der Numerus größer als 0. Sonst meldet der Rechner einen Hinweis statt eines Ergebnisses.
Gut zu wissen: Taschenrechner haben meist nur die Tasten „log“ (Basis 10) und „ln“ (Basis e). Jede andere Basis rechnest du mit dem Basiswechsel aus: log₂(1.000) = ln(1.000) ÷ ln(2) = 6,90775528 ÷ 0,69314718 = 9,96578428. Genau diesen Weg zeigt der Rechner.
lg, ln und log₂: Welche Basis wofür?
lg – der Zehnerlogarithmus
Der dekadische Logarithmus zählt im Grunde Zehnerstellen: lg(100) = 2, lg(1.000) = 3, lg(0,01) = −2. Er steckt in vielen Skalen. Der pH-Wert ist der negative Zehnerlogarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration: Bei 0,0001 mol/l ist lg = −4, der pH-Wert also 4. Auch die Schallpegel-Angabe in Dezibel beruht auf dem lg.
ln – der natürliche Logarithmus
Der natürliche Logarithmus hat die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis. Er taucht überall auf, wo etwas stetig wächst oder zerfällt – bei Zinseszins mit stetiger Verzinsung, radioaktivem Zerfall oder Abkühlung. In der Analysis ist er die wichtigste Logarithmusfunktion, weil seine Ableitung einfach 1/x ist.
log₂ – der Zweierlogarithmus
In der Informatik zählt der binäre Logarithmus (lb, ld oder log₂) die nötigen Bits: Mit n Bits lassen sich 2ⁿ Zustände darstellen. Er beantwortet auch, wie oft du etwas halbieren musst – etwa bei der binären Suche in einer sortierten Liste.
| x | lg(x) | ln(x) | log₂(x) |
|---|---|---|---|
| 0,5 | −0,3010 | −0,6931 | −1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,3010 | 0,6931 | 1 |
| 3 | 0,4771 | 1,0986 | 1,5850 |
| 5 | 0,6990 | 1,6094 | 2,3219 |
| 10 | 1 | 2,3026 | 3,3219 |
| 20 | 1,3010 | 2,9957 | 4,3219 |
| 100 | 2 | 4,6052 | 6,6439 |
| 1.000 | 3 | 6,9078 | 9,9658 |
Werte auf vier Nachkommastellen gerundet. Zahlen zwischen 0 und 1 haben einen negativen Logarithmus, die 1 hat bei jeder Basis den Logarithmus 0.
Logarithmische Skalen im Alltag
Wo Werte über viele Größenordnungen reichen, nutzt man logarithmische Skalen. Ein Schritt auf der Skala bedeutet dann nicht „plus“, sondern „mal“:
- pH-Wert: pH 3 ist zehnmal so sauer wie pH 4.
- Dezibel: +10 dB bedeuten die zehnfache Schallintensität, +3 dB etwa die doppelte.
- Erdbeben-Magnitude: Eine Stufe mehr heißt zehnfache Ausschlagweite im Messgerät und rund 32-fache Energie.
- Sternhelligkeit: Fünf Größenklassen entsprechen genau dem Faktor 100 in der Helligkeit.
Rechenbeispiele mit dem Logarithmus-Rechner
🧮 Beispiel 1: Wann hat sich das Geld verdoppelt?
Nina legt Geld zu 5 % Zinsen pro Jahr an, die Zinsen bleiben auf dem Konto. Nach wie vielen Jahren hat sich der Betrag verdoppelt?
- Modus „Exponentialgleichung“: Basis b = 1,05, Ergebnis y = 2
- x = ln(2) ÷ ln(1,05) = 0,69314718 ÷ 0,04879016
- x = 14,206699
Ergebnis: Rechnerisch nach rund 14,2 Jahren. Weil die Zinsen jährlich gutgeschrieben werden, ist das Kapital nach 15 vollen Jahren mehr als doppelt so hoch (Faktor 2,0789). Den Zinssatz in Prozent prüfst du mit dem Prozentrechner.
🧮 Beispiel 2: Wann ist das Auto nur noch halb so viel wert?
Ein Gebrauchtwagen verliert pro Jahr etwa 15 % seines Werts. Nach wie vielen Jahren ist er nur noch die Hälfte wert?
- Pro Jahr bleiben 85 %, also Faktor 0,85
- Exponentialgleichung: 0,85ˣ = 0,5 → Basis 0,85, Ergebnis 0,5
- x = ln(0,5) ÷ ln(0,85) = 4,265024
Ergebnis: Nach gut 4,3 Jahren hat das Auto die Hälfte seines Werts verloren. Das ist die „Halbwertszeit“ bei 15 % Abnahme pro Jahr.
🧮 Beispiel 3: Wie viele Bits für 1.000 Zustände?
Ein Sensor soll 1.000 verschiedene Messwerte speichern. Wie viele Bits braucht er mindestens?
- Modus „Logarithmus“: Zahl x = 1000, Basis „2 (lb)“
- log₂(1.000) = 9,96578428
- Aufrunden auf die nächste ganze Zahl: 10
Ergebnis: 10 Bits reichen, denn 2¹⁰ = 1.024 Zustände. Mit 9 Bits wären es nur 512.
🧮 Beispiel 4: Wie viel lauter sind zwei Lautsprecher?
Zwei gleiche Lautsprecher geben die doppelte Schallintensität ab wie einer. Um wie viele Dezibel steigt der Pegel?
- Pegeländerung = 10 · lg(Intensitätsverhältnis)
- lg(2) = 0,30103 – im Rechner Zahl 2, Basis „10 (lg)“
- 10 · 0,30103 = 3,0103
Ergebnis: Der Pegel steigt um rund 3 dB – nicht auf das Doppelte. Das erklärt, warum Dezibel-Werte so „langsam“ wachsen.
🧮 Beispiel 5: Wie viele Stellen hat 2¹⁰⁰?
- Stellenzahl einer Zahl z = abgerundetes lg(z) + 1
- lg(2¹⁰⁰) = 100 · lg(2) = 100 · 0,30103 = 30,103
- Abrunden auf 30, plus 1
Ergebnis: 2¹⁰⁰ hat 31 Stellen. Mit diesem Trick schätzt du die Größe riesiger Zahlen – auch die Stellenzahl von Fakultäten, die der Fakultät-Rechner exakt angibt.
🧮 Beispiel 6: Eigene Basis – log₃(81)
- Zahl x = 81, Basis „andere“, Eigene Basis = 3
- ln(81) ÷ ln(3) = 4,39444915 ÷ 1,09861229
- = 4
Ergebnis: log₃(81) = 4. Probe: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Logarithmusgesetze im Überblick
Mit diesen Regeln vereinfachst du Terme und löst Gleichungen. Sie gelten für jede zulässige Basis b und positive x, y:
| Gesetz | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt | log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y) | lg(20) = lg(2) + lg(10) = 1,30103 |
| Quotient | log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) | lg(5) = lg(10) − lg(2) = 0,69897 |
| Potenz | log_b(xʳ) = r · log_b(x) | lg(2¹⁰⁰) = 100 · lg(2) = 30,103 |
| Basiswechsel | log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b) | log₂(1.000) = 9,96578428 |
| Eins | log_b(1) = 0 | weil b⁰ = 1 |
| Basis | log_b(b) = 1 | ln(e) = 1 |
| Umkehrung | b^(log_b(x)) = x | 10^(lg 50) = 50 |
lg(2 + 8) = lg(2) + lg(8). Das ergäbe lg(16) = 1,20412.
lg(2 + 8) = lg(10) = 1. Aufteilen darfst du nur ein Produkt: lg(2 · 8) = lg(2) + lg(8).
Exponentialgleichungen lösen mit dem Logarithmus-Rechner
Steht die Unbekannte im Exponenten, hilft nur Logarithmieren. Aus bˣ = y wird x = ln(y) ÷ ln(b). Steht vor der Potenz noch ein Faktor, teilst du ihn vorher heraus: Aus 500 · 1,03ˣ = 1.000 wird 1,03ˣ = 2, also x = 23,45.
Auch Wahrscheinlichkeiten führen auf Exponentialgleichungen. Wie oft musst du eine Münze werfen, damit mindestens einmal „Kopf“ mit über 99 % Wahrscheinlichkeit fällt? Die Chance, nur „Zahl“ zu werfen, ist 0,5ˣ. Aus 0,5ˣ = 0,01 folgt x = 6,64 – also reichen 7 Würfe. Nachprüfen kannst du das mit dem Münzwurf-Generator.
Exponentialgleichungen mit Substitution
Kommt die Potenz in zwei Stufen vor, hilft ein Trick: 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0. Weil 4ˣ = (2ˣ)² ist, setzt du z = 2ˣ und erhältst die quadratische Gleichung z² − 6z + 8 = 0 mit z = 2 und z = 4 – zum Beispiel mit dem pq-Formel-Rechner. Zurück übersetzt: 2ˣ = 2 ergibt x = 1, 2ˣ = 4 ergibt x = 2.
Verdopplungszeit und 72er-Regel
Für die Verdopplungszeit bei p % Wachstum gibt es eine bekannte Faustregel: 72 ÷ p. Die Tabelle zeigt, wie gut sie im Vergleich zur exakten Rechnung ln(2) ÷ ln(1 + p/100) passt:
| Wachstum pro Jahr | exakt (Jahre) | 72er-Regel |
|---|---|---|
| 1 % | 69,66 | 72 |
| 2 % | 35,00 | 36 |
| 3 % | 23,45 | 24 |
| 4 % | 17,67 | 18 |
| 5 % | 14,21 | 14,4 |
| 6 % | 11,90 | 12 |
| 8 % | 9,01 | 9 |
| 10 % | 7,27 | 7,2 |
Verdopplungszeit in Jahren je nach Wachstumsrate
💡 Tipp: Mit derselben Rechnung findest du die Halbwertszeit bei Abnahme: Basis 1 − Rate, Ergebnis 0,5. Geht es um x² statt um eine Hochzahl x, ist das keine Exponential-, sondern eine quadratische Gleichung – dafür nimmst du den Mitternachtsformel-Rechner.
🤓 Wusstest du? Der schottische Mathematiker John Napier veröffentlichte 1614 die ersten Logarithmentafeln. Weil Logarithmen Multiplikationen in Additionen verwandeln, rechneten Ingenieure und Astronomen damit jahrhundertelang – mit Tafeln und mit dem Rechenschieber, dessen Skalen logarithmisch eingeteilt sind.
Häufige Fehler beim Logarithmus
- ✅ Richtige Taste? „log“ auf dem Taschenrechner ist meist lg (Basis 10), nicht ln.
- ✅ Basiswechsel richtig herum? ln(x) ÷ ln(b) – nicht ln(b) ÷ ln(x) und nicht ln(x ÷ b).
- ✅ Numerus positiv? Für 0 und negative Zahlen gibt es keinen reellen Logarithmus.
- ✅ Prozent in Faktor umgerechnet? 5 % Wachstum ist die Basis 1,05, 15 % Abnahme die Basis 0,85.
- ✅ Ergebnis sinnvoll gerundet? Bei Jahren oder Bits musst du oft aufrunden. Feinere Rundungen erledigt der Zahlen-runden-Rechner.
⚠️ Achtung: Die Basis 1 ist nicht erlaubt, weil 1 hoch jede Zahl wieder 1 ergibt. Der Rechner meldet dann „Die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein.“
Häufige Fragen zum Logarithmus-Rechner
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus ist die Hochzahl, mit der man eine Basis potenzieren muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. log₁₀(1.000) = 3, weil 10³ = 1.000. Er ist die Umkehrung des Potenzierens.
Wie berechnet man einen Logarithmus?
Mit dem Taschenrechner über die Tasten „log“ oder „ln“ und für andere Basen mit dem Basiswechsel log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b). Bei glatten Werten geht es im Kopf: log₂(32) = 5, weil 2⁵ = 32.
Was ist der Unterschied zwischen lg, ln und log?
lg ist der Logarithmus zur Basis 10, ln der zur Basis e ≈ 2,71828. „log“ ohne Basis bedeutet auf Taschenrechnern meist lg, in manchen Fachbüchern und Programmiersprachen aber ln. Im Zweifel schreibst du die Basis dazu.
Warum ist der Logarithmus von 1 gleich 0?
Weil jede zulässige Basis hoch 0 genau 1 ergibt: b⁰ = 1. Deshalb ist log_b(1) = 0 für jede Basis. Zahlen zwischen 0 und 1 haben einen negativen Logarithmus.
Gibt es den Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen?
Nein, nicht in den reellen Zahlen. Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ergibt immer etwas Positives, nie 0 oder eine negative Zahl. Der Rechner meldet deshalb, dass der Logarithmus nur für Zahlen größer als 0 definiert ist.
Wie löse ich eine Exponentialgleichung?
Bring die Gleichung in die Form bˣ = y und logarithmiere beide Seiten: x = ln(y) ÷ ln(b). Beispiel: 1,05ˣ = 2 ergibt x = 14,206699. Im Modus „Exponentialgleichung“ rechnet der Rechner das direkt.
Wie lange dauert es, bis sich Geld verdoppelt?
Bei p % Zinsen pro Jahr ist die Verdopplungszeit ln(2) ÷ ln(1 + p/100). Bei 5 % sind das rund 14,2 Jahre. Als Faustregel teilst du 72 durch den Zinssatz.
Was ist die Eulersche Zahl e?
e ≈ 2,71828 ist eine irrationale Konstante und die Basis des natürlichen Logarithmus ln. Sie entsteht unter anderem als Grenzwert bei stetiger Verzinsung und ist zentral für Wachstums- und Zerfallsprozesse.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
√ WurzelrechnerDie Basis gesucht statt der Hochzahl? n-te Wurzel ziehen.
❗ Fakultät-RechnerRiesige Zahlen wie 100! exakt – mit Stellenanzahl.
📈 Mitternachtsformel-RechnerQuadratische Gleichungen mit Graph und Rechenweg.
So rechnet unser Rechner: Logarithmen zu jeder Basis werden über den Basiswechsel log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b) berechnet; Ergebnisse, die sehr nahe an einer ganzen Zahl liegen, werden auf diese gesetzt. Exponentialgleichungen bˣ = y löst er mit x = ln(y) ÷ ln(b). Angezeigt werden acht Nachkommastellen, bei Exponentialgleichungen sechs.
Grundlage: allgemeine Regeln der Schulmathematik, keine externen Daten · Stand: November 2026