pq-Formel-Rechner
Quadratische Gleichungen in Normalform mit der pq-Formel lösen – mit Rechenweg, Anleitung zum Umformen, Lösungen raten mit Vieta und Graph der Parabel.
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- Stand: November 2026
Mit dem pq-Formel-Rechner löst du quadratische Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0 in Sekunden – mit Rechenweg, Scheitelpunkt, Linearfaktoren und Graph. Hier erfährst du außerdem, wie du jede Gleichung in die Normalform bringst, wie du Lösungen mit dem Satz von Vieta im Kopf errätst und wann die pq-Formel schneller ist als die Mitternachtsformel.
Kurz erklärt
Die pq-Formel löst Gleichungen der Form x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Steht vor x² eine andere Zahl als 1, teilst du vorher die ganze Gleichung durch diese Zahl. Beispiel: x² − 2x − 3 = 0 hat p = −2 und q = −3, also 1 ± √4 = 1 ± 2 – die Lösungen sind x = −1 und x = 3.
So benutzt du den pq-Formel-Rechner
Zusätzlich siehst du Diskriminante, Scheitelpunkt, Linearfaktoren, die Vieta-Werte und den Graphen der Parabel. Steht vor x² eine Zahl, die sich schlecht teilen lässt, wechselst du einfach in den Reiter „abc-Formel“ oder direkt zum Mitternachtsformel-Rechner. Über „Teilen“ und „Drucken“ gibst du die Aufgabe weiter. Weitere Werkzeuge für den Matheunterricht findest du bei den Matherechnern.
Gut zu wissen: Unter „Diskriminante (p/2)² − q“ zeigt der Rechner im pq-Modus genau den Ausdruck unter der Wurzel der pq-Formel. Er ist ein Viertel der Diskriminante b² − 4ac aus der Mitternachtsformel (mit a = 1). Das Vorzeichen ist dasselbe – die Aussage über die Anzahl der Lösungen also auch. Im Beispiel: (p/2)² − q = 4, b² − 4ac = 16.
pq-Formel: die Formel und ihre Teile
Die Formel liest du in drei Bausteinen:
- −p/2: p halbieren und das Vorzeichen umdrehen. Das ist die Mitte zwischen den beiden Lösungen – und die x-Koordinate des Scheitelpunkts.
- (p/2)² − q: die halbe Zahl quadrieren und q abziehen. Dieser Ausdruck heißt Diskriminante der Normalform und entscheidet über die Anzahl der Lösungen.
- ± √…: Die Wurzel gibt an, wie weit die Lösungen links und rechts von der Mitte liegen.
Herleitung der pq-Formel mit quadratischer Ergänzung
- q auf die andere Seite bringen: x² + px = −q
- Quadratisch ergänzen, also (p/2)² auf beiden Seiten addieren: x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q
- Links steht ein Binom: (x + p/2)² = (p/2)² − q
- Wurzel ziehen: x + p/2 = ±√((p/2)² − q)
- p/2 abziehen: x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Nebenbei liefert Schritt 3 die Scheitelpunktform y = (x + p/2)² − ((p/2)² − q). Für x² − 2x − 3 heißt das y = (x − 1)² − 4, der Scheitelpunkt liegt bei S(1 | −4).
Was unter der Wurzel steht: x² − 6x + q = 0 für verschiedene q
Je größer q wird, desto kleiner wird (p/2)² − q – die Lösungen rücken zusammen, bis sie bei 0 verschmelzen. Ist der Wert negativ, gibt es keine reelle Lösung mehr.
Normalform herstellen: von ax² + bx + c zu x² + px + q
Die pq-Formel funktioniert nur, wenn vor x² eine 1 steht und rechts eine 0. Viele Aufgaben sehen anders aus. So bringst du sie in Form:
- Klammern auflösen und ausmultiplizieren.
- Alles auf eine Seite bringen, sodass rechts „= 0“ steht.
- Nach Potenzen sortieren: erst x², dann x, dann die Zahl.
- Durch die Zahl vor x² teilen – und zwar jedes Glied. Dann gilt p = b ÷ a und q = c ÷ a.
| Ausgangsgleichung | Umformung | Normalform | p · q |
|---|---|---|---|
| 3x² − 12x + 9 = 0 | ÷ 3 | x² − 4x + 3 = 0 | p = −4 · q = 3 |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | ÷ 2 | x² + 1,5x − 1 = 0 | p = 1,5 · q = −1 |
| −x² + 6x − 8 = 0 | · (−1) | x² − 6x + 8 = 0 | p = −6 · q = 8 |
| 0,5x² − 2x = 6 | − 6, dann · 2 | x² − 4x − 12 = 0 | p = −4 · q = −12 |
| x² = 5x − 6 | − 5x, + 6 | x² − 5x + 6 = 0 | p = −5 · q = 6 |
| (x + 2)(x − 1) = 4 | ausmultiplizieren, − 4 | x² + x − 6 = 0 | p = 1 · q = −6 |
Die Lösungen dazu: 1 und 3 · 0,5 und −2 · 2 und 4 · 6 und −2 · 2 und 3 · 2 und −3. Entstehen beim Teilen Brüche wie 3/2, kannst du sie als Kommazahl eintragen. Brüche vereinfachst du mit dem Brüche-kürzen-Rechner.
2x² − 4x − 6 = 0 direkt mit p = −4 und q = −6 rechnen: 2 ± √10. Das ergibt falsche Lösungen.
Erst durch 2 teilen: x² − 2x − 3 = 0, also p = −2, q = −3. Dann 1 ± √(1 + 3) = 1 ± 2 → x = −1 und x = 3.
Rechenbeispiele mit dem pq-Formel-Rechner
🧮 Beispiel 1: Normalform direkt – x² + 4x − 21 = 0
- p = 4, q = −21
- Einsetzen: −2 ± √(4 + 21) = −2 ± √25
- −2 ± 5 → x = −7 und x = 3
Ergebnis: x₁ = −7, x₂ = 3. Linearfaktoren: (x − 3)(x + 7). Probe: −7 + 3 = −4 = −p und −7 · 3 = −21 = q.
🧮 Beispiel 2: Erst teilen – 3x² − 12x + 9 = 0
- Durch 3 teilen: x² − 4x + 3 = 0 → p = −4, q = 3
- Einsetzen: 2 ± √(4 − 3) = 2 ± √1
- 2 ± 1 → x = 1 und x = 3
Ergebnis: x₁ = 1, x₂ = 3. Das Teilen ändert die Lösungen nicht – nur die Form der Gleichung. Welche Zahl alle Koeffizienten teilt, verrät der kgV-Rechner (und ggT).
🧮 Beispiel 3: Kommazahlen – 2x² + 3x − 2 = 0
- Durch 2 teilen: x² + 1,5x − 1 = 0 → p = 1,5, q = −1
- Einsetzen: −0,75 ± √(0,5625 + 1) = −0,75 ± √1,5625
- −0,75 ± 1,25 → x = −2 und x = 0,5
Ergebnis: x₁ = −2, x₂ = 0,5. Hier ist die Mitternachtsformel bequemer, weil keine Kommazahlen entstehen – beide Wege führen aber zum Ziel.
🧮 Beispiel 4: Zahlenrätsel – zwei aufeinanderfolgende Zahlen
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist 156. Welche Zahlen sind es?
- Ansatz: x · (x + 1) = 156 → x² + x − 156 = 0 → p = 1, q = −156
- Einsetzen: −0,5 ± √(0,25 + 156) = −0,5 ± √156,25
- −0,5 ± 12,5 → x = −13 und x = 12
Ergebnis: Es gibt zwei Paare: 12 und 13 sowie −13 und −12. Beide ergeben 156. Ähnliche Gleichungen entstehen in der Geometrie: Sind die Katheten x und x + 7 und die Hypotenuse 13, führt der Satz des Pythagoras auf x² + 7x − 60 = 0 mit der Lösung x = 5.
🧮 Beispiel 5: Doppelte Lösung – x² − 10x + 25 = 0
- p = −10, q = 25
- Einsetzen: 5 ± √(25 − 25) = 5 ± √0
- Es bleibt nur x = 5
Ergebnis: „Doppelte Lösung x = 5“. Die Gleichung ist die zweite binomische Formel: (x − 5)² = 0.
🧮 Beispiel 6: Keine Lösung – x² + 4x + 13 = 0
- p = 4, q = 13
- Einsetzen: −2 ± √(4 − 13) = −2 ± √(−9)
- Unter der Wurzel steht eine negative Zahl
Ergebnis: L = { }, keine reelle Lösung. Der Rechner nennt zusätzlich die komplexen Lösungen x = −2 ± 3i.
Lösungen raten mit dem Satz von Vieta
In der Normalform gibt es eine Abkürzung: Die beiden Lösungen ergeben addiert −p und multipliziert q. Sind die Lösungen ganze Zahlen, findest du sie oft im Kopf. Bei x² − 5x + 6 = 0 suchst du zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe 5 – das sind 2 und 3.
| Gleichung | Summe = −p | Produkt = q | Lösungen |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 5 | 6 | 2 und 3 |
| x² − 7x + 10 = 0 | 7 | 10 | 2 und 5 |
| x² + x − 12 = 0 | −1 | −12 | −4 und 3 |
| x² + 8x + 15 = 0 | −8 | 15 | −5 und −3 |
| x² − x − 20 = 0 | 1 | −20 | −4 und 5 |
| x² − 2x − 3 = 0 | 2 | −3 | −1 und 3 |
So gehst du vor: Zerlege q in alle möglichen Faktorpaare und prüfe, welches Paar die passende Summe hat. Bei großen q hilft die Zerlegung mit dem Primfaktorzerlegung-Rechner. Klappt das Raten nicht schnell, nimm die pq-Formel – sie funktioniert immer.
🤓 Wusstest du? Der Satz von Vieta ist nach dem französischen Mathematiker François Viète (1540–1603) benannt. Er gilt als einer der Ersten, die Buchstaben systematisch für bekannte und unbekannte Größen in Gleichungen verwendeten – die Grundlage für Formeln mit p und q.
pq-Formel oder Mitternachtsformel – was ist besser?
Beide Formeln lösen dieselben Gleichungen und liefern dieselben Ergebnisse. Setzt du in die Mitternachtsformel a = 1, b = p und c = q ein, kürzt sie sich zur pq-Formel. Welche du im Unterricht lernst, hängt von Schule und Bundesland ab. Der Vergleich hilft bei der Wahl:
| pq-Formel | Mitternachtsformel | |
|---|---|---|
| Form der Gleichung | x² + px + q = 0 | ax² + bx + c = 0 |
| Vorarbeit | durch a teilen | keine |
| Zahl der Parameter | zwei (p, q) | drei (a, b, c) |
| Stärke | kurz, gut für Kopfrechnen bei a = 1 | funktioniert immer direkt |
| Schwäche | Brüche nach dem Teilen | mehr Rechenschritte, Vorzeichenfallen bei 4ac |
Faustregel: Steht vor x² eine 1 oder lässt sich glatt teilen, ist die pq-Formel schneller. Bei a = 2 und ungeradem b oder bei Kommazahlen spart dir die Mitternachtsformel das Bruchrechnen. Wie die Diskriminante b² − 4ac den Graphen bestimmt und wie du Sachaufgaben wie einen Ballwurf löst, zeigt der Mitternachtsformel-Rechner.
💡 Tipp: Ist q = 0, brauchst du keine Formel: x² − 6x = 0 wird zu x(x − 6) = 0, also x = 0 und x = 6. Ist p = 0, ziehst du einfach die Wurzel: x² − 9 = 0 ergibt x = ±3. Wurzeln mit vielen Stellen liefert der Wurzelrechner.
Häufige Fehler bei der pq-Formel
- ✅ Normalform geprüft? Vor x² muss eine 1 stehen, rechts eine 0.
- ✅ Jedes Glied geteilt? Beim Teilen durch a werden auch b und c geteilt – nicht nur x².
- ✅ Vorzeichen von p umgedreht? Bei p = −4 ist −p/2 = +2.
- ✅ (p/2)² positiv? Ein Quadrat ist nie negativ: (−2)² = 4.
- ✅ „− q“ richtig? Bei q = −3 wird aus „− q“ ein „+ 3“.
- ✅ Probe mit Vieta? Summe der Lösungen = −p, Produkt = q. Krumme Ergebnisse rundest du zum Schluss mit dem Zahlen-runden-Rechner.
⚠️ Achtung: Der Reiter „pq-Formel“ setzt immer a = 1 voraus. Trägst du die Zahlen einer Gleichung wie 2x² − 4x − 6 = 0 ungeteilt ein, löst der Rechner eine andere Gleichung. Teile also zuerst – oder nimm den Reiter „abc-Formel“.
Häufige Fragen zum pq-Formel-Rechner
Wie lautet die pq-Formel?
Für x² + px + q = 0 gilt x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Du halbierst p, drehst das Vorzeichen um und addierst bzw. subtrahierst die Wurzel aus (p/2)² − q.
Wann kann ich die pq-Formel anwenden?
Nur bei quadratischen Gleichungen in Normalform, also wenn vor x² eine 1 steht und auf der rechten Seite eine 0. Jede andere quadratische Gleichung kannst du durch Umformen und Teilen in diese Form bringen.
Wie bringe ich eine Gleichung in die Normalform?
Löse Klammern auf, bring alle Glieder auf eine Seite und sortiere nach x², x und Zahl. Dann teilst du die ganze Gleichung durch die Zahl vor x². Aus 3x² − 12x + 9 = 0 wird so x² − 4x + 3 = 0.
Was ist p und was ist q?
p ist die Zahl vor x, q die Zahl ohne x – jeweils mit Vorzeichen und nachdem die Gleichung in Normalform gebracht wurde. Bei x² − 2x − 3 = 0 ist p = −2 und q = −3.
Was mache ich, wenn vor x² eine Zahl steht?
Teile die ganze Gleichung durch diese Zahl, dann stimmt die Normalform. Steht dort ein Minus, multiplizierst du mit −1. Alternativ nutzt du die Mitternachtsformel, die auch mit a ungleich 1 funktioniert.
Was bedeutet eine negative Zahl unter der Wurzel?
Ist (p/2)² − q kleiner als 0, hat die Gleichung keine reelle Lösung, die Lösungsmenge ist leer. Die Parabel liegt dann vollständig über der x-Achse und schneidet sie nicht.
Ist die pq-Formel einfacher als die Mitternachtsformel?
Bei Gleichungen mit einer 1 vor x² ist sie kürzer und schneller. Muss man erst durch eine Zahl teilen und entstehen Brüche, ist die Mitternachtsformel oft bequemer. Das Ergebnis ist bei beiden gleich.
Wie überprüfe ich die Lösungen der pq-Formel?
Setze jede Lösung in die Gleichung ein – es muss 0 herauskommen. Schneller geht es mit Vieta: Die Summe der Lösungen muss −p ergeben, das Produkt q.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
√ WurzelrechnerWurzeln exakt, gerundet oder teilweise radiziert.
➗ Brüche kürzen RechnerBrüche nach dem Teilen durch a vereinfachen.
🧩 Primfaktorzerlegung-Rechnerq in Faktoren zerlegen und Lösungen mit Vieta finden.
So rechnet unser Rechner: Im Reiter „pq-Formel“ wird x² + px + q = 0 mit a = 1 gelöst: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, gibt der Rechner L = { } und die komplexen Lösungen aus. Scheitelpunkt S(−p/2 | q − (p/2)²), Vieta-Werte −p und q; als Diskriminante wird p² − 4q angezeigt. Gerechnet wird ungerundet, angezeigt mit bis zu vier Nachkommastellen.
Grundlage: allgemeine Regeln der Schulmathematik, keine externen Daten · Stand: November 2026