Fakultät-Rechner

Der Fakultät-Rechner berechnet n! für jede ganze Zahl von 0 bis 10.000 – exakt bis auf die letzte Ziffer, ohne Rundungsfehler. Du siehst sofort die Anzahl der Stellen, die Nullen am Ende und bei großen Zahlen die wissenschaftliche Schreibweise samt vollständiger Zahl zum Kopieren. Dazu erfährst du hier, warum 0! = 1 ist und wie du mit der Fakultät Anordnungen, Sitzordnungen und Lottochancen berechnest.

So benutzt du den Fakultät-Rechner

Für n bis 12 zeigt „So wird gerechnet“ das komplette Produkt, etwa 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Größere Werte berechnet der Rechner mit exakter Ganzzahl-Arithmetik – es geht also keine einzige Ziffer verloren. Über „Teilen“ und „Drucken“ gibst du dein Ergebnis weiter. Weitere Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.

Fakultät berechnen: Formel und Definition

Das Ausrufezeichen hinter einer Zahl heißt „Fakultät“. Du multiplizierst alle ganzen Zahlen von 1 bis n miteinander. Praktisch ist die rekursive Form: Jede Fakultät ist die vorige mal n. Kennst du 9! = 362.880, ist 10! = 10 · 362.880 = 3.628.800.

Warum ist 0! = 1?

Dafür gibt es drei gute Gründe, die alle zum selben Ergebnis führen:

• Rekursion: Aus n! = n · (n − 1)! folgt für n = 1: 1! = 1 · 0!. Weil 1! = 1 ist, muss 0! = 1 sein.
• Leeres Produkt: Ein Produkt ohne Faktoren ist 1 – so wie eine Summe ohne Summanden 0 ist.
• Kombinatorik: Null Gegenstände lassen sich auf genau eine Art anordnen: gar nicht. Auch Formeln wie der Binomialkoeffizient funktionieren nur mit 0! = 1.

Rechenbeispiele mit dem Fakultät-Rechner

Fakultät-Tabelle von 0! bis 20!

Große Fakultäten im Überblick

Ab 25 Stellen zeigt der Rechner die wissenschaftliche Schreibweise mit den ersten sieben Ziffern; die vollständige Zahl steht darunter zum Aufklappen.

Fakultät in der Kombinatorik: die wichtigsten Formeln

Die Fakultät ist der Grundbaustein beim Zählen von Möglichkeiten. Entscheidend sind zwei Fragen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Und: Darf ein Element mehrfach vorkommen?

Der Ausdruck n! ÷ (k! · (n − k)!) heißt Binomialkoeffizient und wird „n über k“ gesprochen. Bei Aufgaben mit Zurücklegen – etwa wiederholtem Würfeln – brauchst du dagegen keine Fakultät, sondern Potenzen: Bei drei Würfen gibt es 6³ = 216 Ergebnisse. Ausprobieren kannst du das mit dem Würfel-Generator.

Nullen am Ende, Stirling-Formel und Gammafunktion

Wie viele Nullen hat n!?

Jede Null am Ende entsteht aus einem Faktor 10 = 2 · 5. Weil es mehr Zweien als Fünfen gibt, zählst du nur die Fünfen: ⌊n ÷ 5⌋ + ⌊n ÷ 25⌋ + ⌊n ÷ 125⌋ + … (⌊ ⌋ heißt abrunden). Für 100! sind das 20 + 4 = 24 Nullen. Genau so rechnet der Rechner die Angabe „Nullen am Ende“. Die Zerlegung einzelner Zahlen in Primfaktoren zeigt der Primfaktorzerlegung-Rechner.

Die Stirling-Formel als Näherung

Für große n gibt es eine gute Näherung: n! ≈ √(2πn) · (n ÷ e)ⁿ. Für n = 10 liefert sie rund 3.598.696 statt 3.628.800 – nur 0,83 % zu wenig. Bei n = 20 sinkt der Fehler auf 0,42 %. Der relative Fehler ist ungefähr 1 ÷ (12n). Die Stellenzahl großer Fakultäten schätzt du damit über den Zehnerlogarithmus – mehr dazu beim Logarithmus-Rechner.

Fakultät von Kommazahlen und negativen Zahlen

Die gewöhnliche Fakultät ist nur für natürliche Zahlen 0, 1, 2, … definiert. Die Gammafunktion erweitert sie auf Kommazahlen: Γ(n + 1) = n!. So ergibt sich zum Beispiel (1/2)! = √π ÷ 2 ≈ 0,8862. Für negative ganze Zahlen gibt es keine Fakultät. Der Rechner akzeptiert deshalb nur ganze Zahlen von 0 bis 10.000.

Häufige Fehler bei der Fakultät

• ✅ 0! nicht vergessen: 0! ist 1, nicht 0.
• ✅ Nicht addieren: (2 + 3)! = 120, aber 2! + 3! = 8.
• ✅ Nicht ausklammern: 2 · 3! = 12, aber (2 · 3)! = 720.
• ✅ Reihenfolge geprüft? Wenn sie egal ist, durch k! teilen – sonst zählst du dieselbe Auswahl mehrfach.
• ✅ Mit oder ohne Zurücklegen? Mit Zurücklegen rechnest du mit Potenzen statt Fakultäten.
• ✅ Vor dem Ausrechnen kürzen: spart Zeit und vermeidet Überläufe im Taschenrechner.

Häufige Fragen zum Fakultät-Rechner

Was ist die Fakultät einer Zahl?

Die Fakultät n! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Beispiel: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Sie gibt an, auf wie viele Arten sich n verschiedene Dinge in eine Reihenfolge bringen lassen.

Warum ist 0 Fakultät gleich 1?

Weil sich null Dinge auf genau eine Art anordnen lassen und ein Produkt ohne Faktoren als 1 definiert ist. Außerdem folgt es aus der Regel n! = n · (n − 1)!: 1! = 1 · 0!, also muss 0! = 1 sein.

Wie viel ist 10 Fakultät?

10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3.628.800. Zehn verschiedene Dinge lassen sich also auf über 3,6 Millionen Arten anordnen.

Wie berechnet man die Fakultät?

Multipliziere alle ganzen Zahlen von 1 bis n. Schneller geht es rekursiv: Kennst du (n − 1)!, multiplizierst du nur noch mit n. Für große Zahlen nimmst du den Fakultät-Rechner, der bis 10.000! exakt rechnet.

Gibt es die Fakultät von negativen Zahlen?

Nein, für negative ganze Zahlen ist die Fakultät nicht definiert. Für Kommazahlen gibt es mit der Gammafunktion eine Erweiterung, etwa (1/2)! ≈ 0,8862. Im Schulalltag brauchst du nur natürliche Zahlen.

Wofür braucht man die Fakultät?

Vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung: Reihenfolgen, Sitzordnungen, Lottochancen oder Turnierpaarungen. Außerdem taucht sie in Reihenentwicklungen wie der für die Eulersche Zahl e auf.

Wie viele Nullen hat 100 Fakultät?

100! endet auf 24 Nullen. Du zählst, wie oft der Faktor 5 vorkommt: 100 ÷ 5 = 20 und 100 ÷ 25 = 4, zusammen 24. Insgesamt hat 100! 158 Stellen.

Was ist der Unterschied zwischen Fakultät und Binomialkoeffizient?

Die Fakultät zählt die Anordnungen aller n Elemente. Der Binomialkoeffizient „n über k“ = n! ÷ (k! · (n − k)!) zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen – etwa 6 aus 49 beim Lotto.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Kartenspiel zu mischen?

Bei 52 Karten sind es 52! ≈ 8,07 × 10^67 Reihenfolgen, eine Zahl mit 68 Stellen. Bei einem Skatblatt mit 32 Karten sind es 32! ≈ 2,63 × 10^35.

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