kgV-Rechner (und ggT)

Mit dem kgV-Rechner bestimmst du das kleinste gemeinsame Vielfache und gleichzeitig den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei, drei oder beliebig vielen Zahlen. Der Rechner zerlegt jede Zahl in Primfaktoren und zeigt dir Schritt für Schritt, wie kgV und ggT daraus entstehen. Dazu verrät er, ob die Zahlen teilerfremd sind.

So benutzt du den kgV-Rechner

Das Ergebnis kopierst du mit einem Klick. Über „Teilen“ entsteht ein Link mit deinen Zahlen, „Drucken“ bringt den Rechenweg ins Heft. Weitere Rechner rund um Teiler, Brüche und Zahlen findest du bei den Matherechnern.

kgV berechnen mit der Primfaktorzerlegung

So geht der kgV-Rechner bei 12, 18 und 30 vor:

1. Zerlegen: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5
2. kgV: Jede vorkommende Primzahl einmal, mit der höchsten Potenz: 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180
3. ggT: Nur Primzahlen, die in allen Zahlen stecken, mit der kleinsten Potenz: 2 · 3 = 6

Die 5 taucht nur in der 30 auf. Für das kgV muss sie dabei sein, für den ggT nicht. Wie man Zahlen geschickt zerlegt und was hinter Primzahlen steckt, erklärt der Primfaktorzerlegung-Rechner ausführlich.

Drei Methoden für kgV und ggT

Methode 1: kgV mit der Vielfachenmethode

Für kleine Zahlen ist das der anschaulichste Weg: Schreib die Vielfachen jeder Zahl auf, bis eine Zahl in allen Reihen vorkommt.

Die 12 ist das erste gemeinsame Vielfache – also kgV(4, 6) = 12. Auch 24 und 36 sind gemeinsame Vielfache, aber nicht die kleinsten. Bei großen Zahlen wird die Liste schnell lang, dann sind die anderen Methoden besser.

Methode 2: ggT mit dem euklidischen Algorithmus

Der euklidische Algorithmus braucht keine Primfaktoren. Du teilst die größere durch die kleinere Zahl und arbeitest mit dem Rest weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest ungleich 0 ist der ggT. Beispiel mit 1071 und 462:

1. 1071 = 2 · 462 + 147
2. 462 = 3 · 147 + 21
3. 147 = 7 · 21 + 0 → ggT = 21

Den Rest jeder Zeile liefert dir der Modulo-Rechner: 1071 mod 462 = 147.

Methode 3: kgV über den ggT

Für zwei Zahlen gilt immer: kgV(a, b) = a · b ÷ ggT(a, b). Mit dem ggT 21 von oben: kgV(1071, 462) = 1071 · 462 ÷ 21 = 494.802 ÷ 21 = 23.562. Genau so rechnet der kgV-Rechner intern – Zahl für Zahl, auch bei mehr als zwei Werten.

Warum ggT mal kgV das Produkt ergibt

Für zwei Zahlen gibt es einen schönen Zusammenhang: ggT · kgV = a · b. Die Grafik zeigt ihn für 12 und 18:

Der Grund: Im Produkt stecken alle Primfaktoren beider Zahlen. Das kgV nimmt von jeder Primzahl die höhere Potenz, der ggT die niedrigere – zusammen sind es wieder alle. Bei drei oder mehr Zahlen gilt diese Formel übrigens nicht mehr.

kgV-Rechner: Rechenbeispiele aus dem Alltag

Tabelle: kgV und ggT häufiger Zahlenpaare

Teilerfremde Zahlen und kgV von mehr als zwei Zahlen

Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist – sie haben also keinen gemeinsamen Primfaktor. Dann ist das kgV einfach das Produkt: kgV(8, 9) = 72. Teilerfremd heißt aber nicht, dass die Zahlen selbst Primzahlen sein müssen: 8 und 9 sind beide keine.

Bei drei oder mehr Zahlen wird es spannend. Für 6, 10 und 15 meldet der kgV-Rechner „Teilerfremd? ja“, denn keine Primzahl steckt in allen dreien – der ggT ist 1. Trotzdem haben jeweils zwei davon gemeinsame Teiler: 6 und 10 die 2, 10 und 15 die 5, 6 und 15 die 3. Das kgV ist deshalb nicht das Produkt 900, sondern nur 30.

Zum Üben brauchst du nur ein paar beliebige Zahlen: Lass dir zum Beispiel mit dem Zufallszahl-Generator drei Zahlen zwischen 2 und 50 ziehen, bestimme kgV und ggT selbst und vergleiche dann mit dem kgV-Rechner. Für Quadratzahlen und Wurzeln aus großen Zahlen hilft dir zusätzlich der Wurzelrechner, der Wurzeln teilweise radiziert – auch das beruht auf Primfaktoren.

Wofür brauche ich kgV und ggT?

Merkhilfe: Beim kgV geht es um etwas, das größer ist als die Ausgangszahlen (ein Vielfaches). Beim ggT geht es um etwas Kleineres, das in alle Zahlen hineinpasst (ein Teiler).

Häufige Fehler bei kgV und ggT

• ✅ Beim kgV alle Primzahlen genommen, auch die, die nur in einer Zahl vorkommen?
• ✅ Beim kgV die höchste, beim ggT die kleinste Potenz gewählt?
• ✅ Beim ggT nur Primzahlen genommen, die in jeder Zahl stecken?
• ✅ kgV und Produkt nicht verwechselt – gleich sind sie nur bei teilerfremden Zahlen.
• ✅ Probe: Das kgV muss durch jede Zahl teilbar sein, jede Zahl durch den ggT.

Häufige Fragen zum kgV-Rechner

Wie berechnet man das kgV?

Zerleg alle Zahlen in Primfaktoren und multipliziere jede vorkommende Primzahl mit ihrer höchsten Potenz. Für 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3² ergibt das 2² · 3² = 36. Der kgV-Rechner zeigt diese Schritte automatisch.

Was ist das kgV von 4 und 6?

Das kgV von 4 und 6 ist 12. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12 …, die von 6 sind 6, 12 … – die 12 ist das erste gemeinsame.

Was ist der Unterschied zwischen kgV und ggT?

Das kgV ist die kleinste Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist. Der ggT ist die größte Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen teilbar sind. Für 12 und 18 ist das kgV 36 und der ggT 6.

Wie berechnet man den ggT?

Entweder über die Primfaktoren – nur gemeinsame Primzahlen mit der kleinsten Potenz – oder mit dem euklidischen Algorithmus durch wiederholtes Teilen mit Rest. Für 420 und 360 ist der ggT 60.

Wie berechnet man das kgV von drei Zahlen?

Nimm aus allen Primfaktorzerlegungen jede Primzahl mit der höchsten Potenz. Für 12, 18 und 30 ist das 2² · 3² · 5 = 180. Alternativ rechnest du schrittweise kgV(kgV(12, 18), 30).

Wie hängen kgV und ggT zusammen?

Für zwei Zahlen gilt ggT · kgV = a · b. Kennst du den ggT, rechnest du das kgV als a · b ÷ ggT aus, zum Beispiel 12 · 18 ÷ 6 = 36.

Was bedeutet teilerfremd?

Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. 8 und 9 sind teilerfremd, ihr kgV ist deshalb das Produkt 72.

Wofür braucht man das kgV?

Vor allem als Hauptnenner beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Im Alltag beantwortet es Fragen wie „Wann treffen sich zwei regelmäßige Ereignisse wieder?“.

Kann das kgV kleiner sein als eine der Zahlen?

Nein. Das kgV ist mindestens so groß wie die größte der Zahlen. Gleich groß ist es, wenn die größte Zahl durch alle anderen teilbar ist, etwa kgV(4, 12) = 12.

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