Modulo-Rechner

Mit dem Modulo-Rechner bestimmst du den Rest einer ganzzahligen Division – also das Ergebnis von a mod n – in Sekunden. Du siehst zusätzlich den ganzzahligen Quotienten, die Probe a = q · n + r, ob die Zahl teilbar ist, und wie Programmiersprachen wie JavaScript, C oder Java bei negativen Zahlen rechnen. Eine Restetabelle von 0 bis 20 macht das Muster sichtbar.

So benutzt du den Modulo-Rechner

Unter „So wird gerechnet“ stehen die zwei Schritte: teilen und abrunden, dann den Rest bilden. Ein Hinweis unter dem Ergebnis zeigt ein Praxisbeispiel mit Wochentagen. Mit „Teilen“ schickst du deine Aufgabe als Link weiter, mit „Drucken“ bringst du sie aufs Papier. Mehr Rechner für Zahlen und Teilbarkeit findest du bei den Matherechnern.

Modulo berechnen: die Formel

Die eckigen Klammern ⌊ ⌋ bedeuten abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl. Du teilst also a durch n, schneidest die Nachkommastellen ab und erhältst den ganzzahligen Quotienten q. Der Rest r ist dann das, was von a übrig bleibt: r = a − q · n.

Aus der Grundschule kennst du das als Division mit Rest: 17 : 5 = 3 Rest 2. Modulo ist genau dieser Rest – nur mit eigenem Namen und Rechenzeichen. Die Probe lautet immer: a = q · n + r.

• Dividend a: die Zahl, die geteilt wird (17)
• Modul oder Divisor n: die Zahl, durch die geteilt wird (5)
• Ganzzahliger Quotient q: wie oft n vollständig in a passt (3), auch „div“ genannt
• Rest r: das Ergebnis von a mod n (2)

Rechenbeispiele mit dem Modulo-Rechner

Modulo bei negativen Zahlen: Mathematik vs. Programmiersprachen

Solange a und n positiv sind, rechnen alle gleich. Bei negativen Zahlen gibt es drei verbreitete Varianten. Der Unterschied liegt darin, wie der Quotient gerundet wird:

• Abgerundete Division (zur kleineren Zahl): Der Rest hat das Vorzeichen von n. So rechnen der Modulo-Rechner, Python mit % und Excel mit REST().
• Abgeschnittene Division (Richtung null): Der Rest hat das Vorzeichen von a. So arbeitet der %-Operator in JavaScript, C, C++, Java, C# und PHP.
• Euklidische Division: Der Rest ist immer 0 oder positiv. Das ist die übliche Definition in der Zahlentheorie.

Modulo im Alltag: Wochentage, Uhrzeit, Prüfziffern

Modulo ist überall dort im Spiel, wo sich etwas im Kreis wiederholt. Nach 7 Tagen beginnt die Woche neu, nach 24 Stunden der Tag, nach 60 Minuten die Stunde. Die Grafik zeigt das Muster für n = 4: Die Reste laufen immer wieder von 0 bis 3.

Wochentage berechnen mit mod 7

Für jeden Zeitraum in Tagen gilt: Rest nach Division durch 7 = Anzahl Wochentage, um die du weiterzählst. Ein Jahr mit 365 Tagen hat 365 mod 7 = 1 – darum fällt dein Geburtstag im nächsten Jahr meist einen Wochentag später, nach einem 29. Februar sogar zwei. Wie viele Tage es bis zu einem Datum noch sind, verrät der Tage-bis-Rechner.

Modulo bei der Uhrzeit: 12- und 24-Stunden-Uhr

Die Uhr ist das klassische Beispiel für Rechnen modulo 12 oder 24. 21 Uhr in der 12-Stunden-Schreibweise ist 21 mod 12 = 9, also 9 Uhr abends. Beim 24-Stunden-Format rechnest du nach Mitternacht mit mod 24 weiter.

Prüfziffern: EAN-Code und IBAN

Prüfziffern erkennen Tippfehler – und sie beruhen auf Modulo. Beim EAN-13-Strichcode werden die ersten 12 Ziffern abwechselnd mit 1 und 3 gewichtet und addiert. Die Prüfziffer ergänzt die Summe zur nächsten Zehnerzahl. Für die Ziffern 400638133393 ergibt die gewichtete Summe 89, und 89 mod 10 = 9. Es fehlt 1 bis 90 – die Prüfziffer ist also 1, der vollständige Code lautet 4006381333931.

Auch die IBAN nutzt Modulo: Nach dem Umstellen der Zeichen und Ersetzen der Buchstaben durch Zahlen muss die riesige Zahl modulo 97 den Rest 1 ergeben. Ein vertippter Buchstabe oder zwei vertauschte Ziffern fallen so fast immer auf.

Restklassen und Kongruenz einfach erklärt

Alle Zahlen mit demselben Rest bilden eine Restklasse. Modulo 5 gibt es fünf davon: Zahlen mit Rest 0 (0, 5, 10, 15 …), mit Rest 1 (1, 6, 11, 16 …) und so weiter bis Rest 4. Zwei Zahlen aus derselben Klasse heißen kongruent modulo n: 17 ≡ 22 ≡ 2 (mod 5).

Mit Restklassen lässt sich bequem rechnen, weil man große Zahlen durch ihre Reste ersetzen darf. Darauf beruht der euklidische Algorithmus, mit dem der kgV- und ggT-Rechner den größten gemeinsamen Teiler findet, und viele Verfahren der Verschlüsselung. Ob eine Zahl durch eine Primzahl teilbar ist, siehst du auch an ihrer Zerlegung im Primfaktorzerlegung-Rechner.

Restetabelle: Modulo 7 für Wochentage

Die Restetabelle im Rechner passt sich deinem Modul an. Hier als Beispiel n = 7 – mit dem passenden Wochentag, wenn Tag 0 ein Montag ist:

Häufige Fehler beim Modulo-Rechnen

• ✅ Modulo ist der Rest, nicht der Quotient: 17 mod 5 = 2, nicht 3.
• ✅ Ist a kleiner als n, ist das Ergebnis a selbst: 3 mod 5 = 3.
• ✅ Bei negativen Zahlen abrunden, nicht abschneiden: ⌊−3,4⌋ = −4.
• ✅ In Programmiersprachen prüfen, ob % ein echter Modulo oder ein Rest-Operator ist.
• ✅ n = 0 ist nicht erlaubt – durch 0 kann man nicht teilen.
• ✅ Probe machen: q · n + r muss wieder a ergeben.

Willst du den Quotienten nicht abrunden, sondern kaufmännisch runden, hilft der Zahlen-runden-Rechner.

Häufige Fragen zum Modulo-Rechner

Was bedeutet mod in Mathe?

mod steht für Modulo und bezeichnet den Rest einer ganzzahligen Division. 17 mod 5 = 2, weil 17 geteilt durch 5 gleich 3 Rest 2 ist.

Wie berechnet man Modulo?

Teile a durch n, runde das Ergebnis ab und rechne a minus n mal diesen Quotienten. Für 23 mod 7: 23 ÷ 7 = 3,28… → 3, und 23 − 3 · 7 = 2.

Was ist 10 mod 3?

10 mod 3 ist 1. Die 3 passt dreimal in die 10 (3 · 3 = 9), übrig bleibt 1.

Was ergibt Modulo bei negativen Zahlen?

Mathematisch und im Modulo-Rechner ist −17 mod 5 = 3, weil auf −4 abgerundet wird und −17 = −4 · 5 + 3 gilt. Der %-Operator in JavaScript, C oder Java liefert dagegen −2, weil er Richtung null rundet.

Was ist der Unterschied zwischen Modulo und Division?

Die Division liefert den Quotienten, Modulo den Rest. Bei 17 durch 5 ist der ganzzahlige Quotient 3, die Dezimaldivision 3,4 und der Rest 2.

Wie prüfe ich mit Modulo, ob eine Zahl gerade ist?

Rechne die Zahl mod 2. Ist das Ergebnis 0, ist die Zahl gerade, ist es 1, ist sie ungerade. 42 mod 2 = 0, also ist 42 gerade.

Wie berechne ich mit Modulo den Wochentag?

Rechne die Anzahl der Tage mod 7 und zähle das Ergebnis ab dem heutigen Wochentag weiter. Von Freitag aus sind 100 Tage später 100 mod 7 = 2 Tage weiter, also Sonntag.

Was ist 0 mod n?

0 mod n ist immer 0, denn 0 ist durch jede Zahl außer 0 teilbar. 0 mod 5 = 0.

Gibt es Modulo in Excel?

Ja, die Funktion heißt REST(Zahl; Divisor). Sie rechnet wie der Modulo-Rechner mit abgerundeter Division, also ergibt REST(−17; 5) den Wert 3.

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