Tangens-Rechner
Tangens berechnen und als Steigung lesen: Grad in Prozent und Prozent in Grad umrechnen – mit Arkustangens, Tabellen für Dach und Straße und der Polstelle bei 90°.
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- Stand: November 2026
Mit dem Tangens-Rechner berechnest du tan α für jeden Winkel und siehst sofort, welche Steigung in Prozent dahintersteckt. Umgekehrt ermittelst du mit dem Arkustangens aus einer Steigung den Winkel – ideal für Dachneigung, Straßenschilder, Rampen und die Steigung von Geraden im Matheunterricht. Voreingestellt sind 45° mit dem Tangens als Hauptergebnis.
Kurz erklärt
Der Tangens-Rechner nutzt tan α = Gegenkathete ÷ Ankathete – also Höhe ÷ waagerechte Strecke. Deshalb ist der Tangens genau die Steigung: Steigung in % = tan α × 100. Umgekehrt gilt α = arctan(Prozent ÷ 100). Merke: 45° entsprechen 100 %, und bei 90° ist der Tangens nicht definiert.
So benutzt du den Tangens-Rechner
Die Skizze am Einheitskreis zeigt den Winkel, unter „So wird gerechnet“ siehst du tan = sin ÷ cos mit Zwischenwerten. Für alle anderen Winkelfunktionen und für rechtwinklige Dreiecke ist der ausführliche Trigonometrie-Rechner mit eigenem Ratgeber gedacht. Weitere Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
Tangens-Rechner: Formel für Steigung in Prozent und Grad
Steigung (%) = tan α × 100 · α = arctan(Steigung ÷ 100)
Steigt eine Strecke auf 100 m waagerechter Länge um 12 m, ist ihr Verhältnis Δy ÷ Δx = 0,12. Genau dieses Verhältnis ist der Tangens des Steigungswinkels. In der Mathematik heißt er auch Steigungswinkel einer Geraden: Für y = m · x + b gilt tan α = m.
Prozent und Grad wachsen dabei nicht im gleichen Takt. Bei flachen Neigungen gilt die Faustregel 1 % ≈ 0,57°, ab etwa 20 % weicht sie deutlich ab. Den Prozentanteil selbst kannst du mit dem Prozentrechner nachrechnen.
„100 % Steigung sind senkrecht, also 90°.“ Oder: 50 % sind die Hälfte von 90°, also 45°.
100 % = 45°, denn tan 45° = 1. 50 % sind arctan(0,5) = 26,57°. Senkrecht wäre eine unendlich große Steigung.
Rechenbeispiele mit dem Tangens-Rechner
🧮 Beispiel 1: Dachneigung 38° – wie hoch wird der First?
Ein Satteldach mit 38° Neigung überspannt pro Dachseite 5 m waagerecht.
- Winkel 38, Einheit Grad: tan 38° = 0,7812856265
- Steigung: 78,13 % – also gut 78 cm Höhe pro Meter
- Höhe: 5 m × 0,7813 = 3,9064 m
Ergebnis: Der First liegt rund 3,91 m über der Traufe. Die Sparrenlänge ohne Überstand liefert der Satz des Pythagoras Rechner: √(5² + 3,9064²) = 6,3451 m.
🧮 Beispiel 2: Verkehrsschild „12 % Steigung“
Mia fährt mit dem Rad einen Pass hinauf und fragt sich, wie viel Grad 12 % sind.
- Reiter „Winkel berechnen“, Funktion arctan, Wert 0,12
- arctan(0,12) = 6,842773° = 0,119429 rad
- „Als Steigung“: 12 % → 6,84°
Ergebnis: 12 % sind nur 6,84°. Auf 1 km waagerechter Strecke steigt die Straße trotzdem um 120 m.
🧮 Beispiel 3: Steigung eines Wanderwegs aus der Karte
Auf der Wanderkarte misst Ben 1,6 km Luftlinie bis zum Gipfel, die Höhenlinien zeigen 250 m Höhenunterschied.
- Steigung: 250 ÷ 1.600 = 0,15625 = 15,625 %
- arctan(0,15625) = 8,880659°
- Kartenstrecke in echte Länge umrechnen: Maßstabsrechner
Ergebnis: Der Weg steigt im Mittel um 15,6 % bzw. 8,88°. Einzelne Abschnitte können deutlich steiler sein – die Rechnung liefert nur den Durchschnitt.
🧮 Beispiel 4: Steigungswinkel einer Geraden
Im Unterricht ist die Gerade y = 0,5x + 1 gegeben. Unter welchem Winkel schneidet sie die x-Achse?
- Steigung m = 0,5 – das ist der voreingestellte Wert im Reiter „Winkel berechnen“
- α = arctan(0,5) = 26,565051°
- Bei m = 2 wären es arctan(2) = 63,4349°, bei m = −0,75 genau −36,8699°
Ergebnis: Die Gerade steigt unter 26,57°. Ein negatives m ergibt einen negativen Winkel – die Gerade fällt.
🧮 Beispiel 5: Was passiert kurz vor 90°?
Lukas tippt nacheinander 80°, 89° und 89,9° ein.
- tan 80° = 5,6713 → Steigung 567,13 %
- tan 89° = 57,29 → 5.729 %
- tan 89,9° = 572,9572 → 57.295,72 %; bei 90° meldet der Rechner „nicht definiert“
Ergebnis: Der Tangens wächst gegen 90° über jede Grenze. Das ist die Polstelle der Tangensfunktion.
Tabellen: Tangenswerte für Dach und Straße
Dachneigung in Grad als Steigung in Prozent
| Neigung | tan α | Steigung | Höhe pro Meter |
|---|---|---|---|
| 10° | 0,1763 | 17,63 % | 17,6 cm |
| 15° | 0,2679 | 26,79 % | 26,8 cm |
| 20° | 0,3640 | 36,40 % | 36,4 cm |
| 25° | 0,4663 | 46,63 % | 46,6 cm |
| 30° | 0,5774 | 57,74 % | 57,7 cm |
| 35° | 0,7002 | 70,02 % | 70,0 cm |
| 40° | 0,8391 | 83,91 % | 83,9 cm |
| 45° | 1 | 100 % | 100 cm |
| 50° | 1,1918 | 119,18 % | 119,2 cm |
| 60° | 1,7321 | 173,21 % | 173,2 cm |
Steigung in Prozent als Winkel in Grad
| Steigung | Wert für arctan | Winkel |
|---|---|---|
| 5 % | 0,05 | 2,86° |
| 8 % | 0,08 | 4,57° |
| 12 % | 0,12 | 6,84° |
| 20 % | 0,2 | 11,31° |
| 30 % | 0,3 | 16,70° |
| 40 % | 0,4 | 21,80° |
| 50 % | 0,5 | 26,57° |
| 100 % | 1 | 45,00° |
| 200 % | 2 | 63,43° |
| 1.000 % | 10 | 84,29° |
Flache Gefälle für Terrasse, Pflaster oder Abwasserrohr – mit Promille, Verhältnis 1 : x und nötiger Höhe – rechnest du besser im Gefälle-Rechner.
Steigung im Alltag: Dach, Straße und Rampe
Dachneigung mit dem Tangens-Rechner bestimmen
Steht kein Winkelmesser zur Verfügung, misst du am Dachstuhl zwei Strecken: die waagerechte Länge und den Höhenunterschied darüber. Beispiel: 1,20 m Höhe auf 2,50 m waagerecht ergeben 1,2 ÷ 2,5 = 0,48. Im Reiter „Winkel berechnen“ mit arctan und dem Wert 0,48 erhältst du 25,64°, also 48 % Steigung. Kennst du umgekehrt den Winkel, rechnest du die Höhe für jede Länge hoch: Bei 38° (78,13 %) steigt das Dach auf 3,5 m waagerechter Länge um 2,7345 m – das geht auch mit dem Dreisatz-Rechner.
Straßen, Wege und Bahnstrecken
Die Warnschilder für Steigung und Gefälle geben den Wert in Prozent an, Bahnstrecken meist in Promille. Beides ist dieselbe Idee: Höhenunterschied pro waagerechter Strecke, also der Tangens. Für den Winkel teilst du durch 100 (Prozent) oder 1.000 (Promille) und nimmst den Arkustangens.
Rampen und Zufahrten
Für Rollstuhlrampen nennt die DIN 18040 höchstens 6 % Steigung – das sind gerade einmal 3,43°. Der kleine Winkel zeigt, warum Rampen so lang werden: Für 30 cm Höhe braucht es 5 m waagerechte Länge.
Polstellen: Warum der Tangens bei 90° explodiert
Der Tangens ist der Quotient sin ÷ cos. Je näher der Winkel an 90° rückt, desto kleiner wird der Kosinus – und desto größer der Quotient. Bei genau 90° ist cos = 0, die Division ist nicht erlaubt. Die Tangensfunktion hat dort eine Polstelle, ebenso bei 270° und allgemein bei 90° + k · 180°.
So schnell wächst tan α (Balken relativ zu tan 80°)
Wiederholt sich der Tangens?
Ja, alle 180°. tan 225° ist wieder 1, tan 135° ist −1. Deshalb nennt der Rechner beim Arkustangens als zweite Lösung immer Hauptwert + 180°: zu arctan(0,12) = 6,84° gehört auch 186,84°. Für eine Straße oder ein Dach spielt nur der Hauptwert eine Rolle.
🤓 Wusstest du? Der Name kommt vom lateinischen tangere („berühren“). Am Einheitskreis ist der Tangens die Länge des Abschnitts auf der Tangente, die den Kreis im Punkt (1 | 0) berührt – bis zum verlängerten Radius des Winkels.
Häufige Fehler beim Umrechnen von Steigung und Winkel
- ✅ Prozent als Dezimalzahl eingegeben? Für arctan wird aus 12 % der Wert 0,12, nicht 12.
- ✅ Waagerecht gemessen? Steigung bezieht sich auf die waagerechte Strecke, nicht auf die schräge Länge.
- ✅ Nicht linear umgerechnet? 50 % sind nicht 45° ÷ 2, sondern 26,57°.
- ✅ Einheit Grad gewählt? Im Bogenmaß ergibt tan(45) einen ganz anderen Wert.
⚠️ Achtung: Rechenwerte ersetzen keine Fachplanung. Mindest- und Höchstneigungen für Dachdeckungen, Rampen oder Zufahrten legen Hersteller, Normen und der Fachbetrieb fest.
Häufige Fragen zum Tangens-Rechner
Wie berechne ich den Tangens eines Winkels?
Im rechtwinkligen Dreieck teilst du die Gegenkathete durch die Ankathete. Allgemein gilt tan α = sin α ÷ cos α. Der Tangens-Rechner liefert den Wert sofort, zum Beispiel tan 30° = 0,5774.
Wie rechne ich Grad in Prozent um?
Berechne den Tangens des Winkels und multipliziere mit 100. 35° ergeben tan 35° × 100 = 70,02 %. Der Tangens-Rechner zeigt diesen Wert im Feld „Steigung“.
Wie rechne ich Prozent in Grad um?
Teile die Prozentzahl durch 100 und nimm davon den Arkustangens. 20 % ergeben arctan(0,2) = 11,31°. Im Reiter „Winkel berechnen“ wählst du dafür arctan.
Wie viel Grad sind 100 Prozent Steigung?
100 % Steigung entsprechen 45°. Dann steigt die Strecke auf einem Meter waagerechter Länge um genau einen Meter. Senkrecht wären es unendlich viel Prozent.
Warum ist tan 90° nicht definiert?
Bei 90° ist der Kosinus null, und der Tangens ist sin ÷ cos. Eine Division durch null ist nicht erlaubt. Kurz davor wird der Wert riesig: tan 89,9° ≈ 572,96.
Was ist der Arkustangens?
Der Arkustangens (arctan, tan⁻¹) ist die Umkehrfunktion des Tangens. Er beantwortet die Frage, zu welchem Winkel ein bestimmter Tangenswert gehört. Sein Hauptwert liegt zwischen −90° und 90°.
Wie berechne ich den Steigungswinkel einer Geraden?
Lies die Steigung m aus y = m · x + b ab und berechne α = arctan(m). Bei m = 0,5 sind das 26,57°, bei m = 1 genau 45°.
Was ist der Unterschied zwischen Tangens und Kotangens?
Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens: cot α = 1 ÷ tan α. Bei 45° sind beide 1. Der Tangens-Rechner zeigt den Kotangens immer mit an.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
⛰️ Gefälle-RechnerGefälle in Prozent, Grad und Promille für Bau und Garten.
📏 Satz des Pythagoras RechnerSchräge Längen wie Sparren oder Rampen berechnen.
🧮 Wissenschaftlicher Taschenrechnertan, arctan und ganze Terme mit Tastenfeld.
So rechnet unser Rechner: Der Winkel wird bei Bedarf mit Grad × π ÷ 180 ins Bogenmaß umgerechnet, der Tangens entsteht als sin ÷ cos. Ist der Kosinus betragsmäßig kleiner als 10⁻¹², gilt der Tangens als „nicht definiert“. Die Steigung ist tan × 100 in Prozent (zwei Nachkommastellen). Der Arkustangens liefert den Hauptwert zwischen −90° und 90° und als zweite Lösung Hauptwert + 180°. Grundlage sind die allgemeinen Regeln der Trigonometrie · Stand: November 2026