Interpolieren-Rechner: lineare Interpolation

Mit dem Interpolieren-Rechner bestimmst du Zwischenwerte durch lineare Interpolation – entweder aus zwei bekannten Punkten oder direkt aus einer ganzen Wertetabelle, wie sie in Datenblättern, Normen und Tabellenbüchern steht. Der Rechner zeigt die Geradengleichung, ein Diagramm und den Rechenweg und warnt dich, sobald du außerhalb der Tabelle extrapolierst. Praktisch für Technik, Studium, Labor und Alltag.

So benutzt du den Interpolieren-Rechner

Im Reiter „Zwei Punkte“ nennt der Rechner zusätzlich die Steigung m und die Geradengleichung y = m · x + b. Im Reiter „Wertetabelle“ sortiert er die Punkte selbst nach x, sucht die beiden Nachbarn und gibt an, zwischen welchen x-Werten interpoliert wurde. Kommazahlen wie 998,2 darfst du mit Komma eingeben. Mit „Teilen“ speicherst du alle Eingaben in einem Link. Mehr Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.

Interpolieren-Rechner: Formel der linearen Interpolation

Die Formel legt eine Gerade durch die beiden Stützstellen und liest den Wert an der gesuchten Stelle ab. Du kannst sie in drei Schritten denken:

• Steigung: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) – um wie viel ändert sich y pro Einheit x?
• Abstand: x − x₁ – wie weit liegt der gesuchte Wert vom ersten Punkt entfernt?
• Ergebnis: y = y₁ + Abstand · m – Startwert plus anteilige Änderung.

Das ist ein erweiterter Dreisatz: Statt durch den Nullpunkt läuft die Gerade durch zwei beliebige Punkte. Die Steigung m entspricht dem, was du von Gefällen oder Rampen kennst – nur in den Einheiten deiner Tabelle.

Interpolieren-Rechner im Kopf nachprüfen: der Anteil t

Manche Lehrbücher schreiben die Formel als y = y₁ + t · (y₂ − y₁) mit t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁). Der Anteil t sagt, welchen Bruchteil des Weges du zurückgelegt hast: Bei x = 14 zwischen 10 und 20 ist t = 0,4, also kommen 40 % der Differenz 1,6 hinzu – das sind 0,64. Ergebnis: 2,5 + 0,64 = 3,14.

Rechenbeispiele: lineare Interpolation Schritt für Schritt

Tabellen: Wie genau ist lineare Interpolation?

Wurzelwerte zwischen 16 und 25 interpoliert

Zwischen √16 = 4 und √25 = 5 liegt eine gekrümmte Kurve. Die Tabelle vergleicht die interpolierten Werte mit den echten Wurzeln aus dem Wurzelrechner (gerundet auf vier Stellen).

Die Abweichung ist an den Stützstellen null und etwa in der Mitte am größten. Weil die Wurzelkurve nach unten gebogen ist, liegt die Gerade immer etwas darunter.

Pt100-Kennwerte als Stützstellen

Diese Werte stammen aus der Kennlinie nach der Norm IEC 60751 (gerundet auf zwei Stellen) und eignen sich gut für den Reiter „Wertetabelle“.

Der Zuwachs schrumpft leicht – die Kennlinie ist also schwach gekrümmt. Genau deshalb liefern enge Stützstellen bessere Ergebnisse als zwei weit entfernte.

Interpolieren in Wertetabellen: Datenblätter und Steuertabellen

Ob Sensor-Kennlinie, Dichtetabelle, Dampftafel oder Leistungskurve: Datenblätter nennen Werte meist nur in festen Schritten. Der Interpolieren-Rechner schließt die Lücke dazwischen. Gute Ergebnisse bekommst du, wenn die Werte stetig verlaufen und die Stützstellen eng genug liegen.

Wann darf ich nicht interpolieren?

Viele Tabellen gelten stufenweise, etwa Gebühren-, Tarif- oder Lohnsteuertabellen. Dort gilt für alle Beträge innerhalb einer Stufe derselbe Tabellenwert, und der Sprung zur nächsten Stufe ist gewollt. Interpolieren würde Zwischenwerte erfinden, die es so nicht gibt. Lies stattdessen die passende Stufe ab oder rechne mit der amtlichen Formel – die Einkommensteuer etwa folgt einem gesetzlich festgelegten Tarif, dessen Verlauf nicht linear ist.

Zweidimensionale Tabellen: bilinear interpolieren

Hat eine Tabelle Zeilen und Spalten, interpolierst du zweimal nacheinander. Beispiel mit den Werten 20 und 30 in Zeile 1 (bei x = 10 und 20) sowie 26 und 38 in Zeile 2: Bei x = 14 ergibt Zeile 1 den Wert 24, Zeile 2 den Wert 30,8. Liegt die gesuchte Zeile genau dazwischen (1,5), interpolierst du ein drittes Mal: 24 + 0,5 · 6,8 = 27,4. Jeden dieser Schritte kannst du im Reiter „Zwei Punkte“ ausführen.

Extrapolation: Warum Werte außerhalb der Tabelle riskant sind

Liegt dein x-Wert links vom kleinsten oder rechts vom größten Tabellenwert, verlängert der Rechner die nächstgelegene Gerade. Das nennt man Extrapolation. Mathematisch ist das dieselbe Formel – inhaltlich aber eine Annahme: Du unterstellst, dass sich der Trend außerhalb deiner Daten unverändert fortsetzt.

• Krümmung: Kurven wie Dichte, Wachstum oder Akkuladung verlaufen selten dauerhaft gerade. Je weiter du dich entfernst, desto größer der Fehler.
• Grenzen: Viele Größen haben natürliche Grenzen (0 %, 100 %, Siedepunkt). Eine Gerade kennt sie nicht und schießt darüber hinaus.
• Neue Effekte: Außerhalb des gemessenen Bereichs können ganz andere Gesetzmäßigkeiten gelten, etwa Sättigung oder Phasenwechsel.

Andere Interpolationsverfahren im Überblick

Der Interpolieren-Rechner arbeitet stückweise linear. Für spezielle Aufgaben gibt es weitere Verfahren:

Nicht verwechseln: Eine Regression legt eine Ausgleichsgerade durch viele streuende Messpunkte, ohne jeden Punkt genau zu treffen. Wie stark Messwerte streuen, zeigt der Standardabweichung-Rechner; den einfachen Mittelwert liefert der Durchschnittsrechner.

Häufige Fehler beim Interpolieren

• ✅ Richtige Nachbarn gewählt? Interpoliere immer zwischen den beiden Tabellenwerten, die den gesuchten x-Wert einschließen.
• ✅ x und y nicht vertauscht? Bei Rückwärtsfragen („Welche Temperatur gehört zu 110 Ω?“) tauschst du die Spalten bewusst.
• ✅ Einheiten einheitlich? Uhrzeiten als Dezimalstunden, Längen in derselben Einheit eintragen.
• ✅ Keine doppelten x-Werte? Zwei Punkte mit demselben x ergeben keine Gerade – im Reiter „Zwei Punkte“ meldet der Rechner dann „x₁ und x₂ müssen verschieden sein“.
• ✅ Stufentabelle erkannt? Bei Gebühren- oder Tariftabellen gilt die Stufe, nicht der interpolierte Wert.
• ✅ Extrapolation bemerkt? Achte auf den Hinweis unter dem Ergebnis.

Häufige Fragen zum Interpolieren-Rechner

Wie funktioniert lineare Interpolation?

Du verbindest zwei bekannte Punkte mit einer Geraden und liest den Wert an der gesuchten Stelle ab. Die Formel lautet y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Zwischen (10 | 2,5) und (20 | 4,1) ergibt sich bei x = 14 der Wert 3,14.

Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?

Bei der Interpolation liegt der gesuchte Wert zwischen den bekannten Punkten, bei der Extrapolation außerhalb. Interpolierte Werte sind meist verlässlich, extrapolierte deutlich unsicherer, weil niemand weiß, ob der Verlauf außerhalb der Daten gleich bleibt.

Wie interpoliere ich in einer Tabelle?

Suche die beiden Tabellenzeilen, zwischen denen dein Wert liegt, und setze sie in die Interpolationsformel ein. Im Reiter „Wertetabelle“ trägst du einfach alle Zeilen ein – der Rechner findet die Nachbarn selbst.

Wie genau ist lineare Interpolation?

Das hängt davon ab, wie stark die echte Kurve gekrümmt ist und wie eng die Stützstellen liegen. Bei engen Tabellen ist der Fehler oft vernachlässigbar, bei weiten Abständen kann er spürbar werden. Der größte Fehler liegt meist in der Mitte zwischen zwei Punkten.

Kann ich rückwärts interpolieren?

Ja. Tausche einfach x und y: Trag den bekannten y-Wert als x-Wert ein und die gesuchte Größe als y. So findest du zum Beispiel die Temperatur zu einem gemessenen Widerstand.

Was ist eine Stützstelle?

Eine Stützstelle ist ein bekannter Datenpunkt, also ein Wertepaar aus x und y. Zwischen den Stützstellen wird interpoliert. Je mehr Stützstellen eine Tabelle hat, desto genauer werden die Zwischenwerte.

Was ist bilineare Interpolation?

Bilineare Interpolation ist lineare Interpolation in zwei Richtungen, etwa in einer Tabelle mit Zeilen und Spalten. Du interpolierst zuerst in beiden Zeilen und dann zwischen den beiden Ergebnissen. Bildprogramme nutzen das Verfahren beim Vergrößern von Fotos.

Ist Interpolieren dasselbe wie der Dreisatz?

Fast. Der Dreisatz setzt voraus, dass die Gerade durch den Nullpunkt geht. Die lineare Interpolation verbindet zwei beliebige Punkte und funktioniert deshalb auch, wenn y bei x = 0 nicht null ist.

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