Kurvendiskussion-Rechner
Komplette Kurvendiskussion in einem Schritt: Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Symmetrie, Monotonie, Grenzverhalten und ein Graph mit allen Punkten.
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- Stand: November 2026
Der Kurvendiskussion-Rechner untersucht eine Funktion komplett in einem Durchgang: Ableitungen bis f‴, Nullstellen, Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkte, Symmetrie, Grenzverhalten, Monotonie, Definitionslücken und den Graphen mit allen markierten Punkten. Du gibst nur f(x) ein – das Ergebnis eignet sich perfekt, um eine Hausaufgabe oder Klausurvorbereitung Punkt für Punkt zu kontrollieren.
Kurz erklärt
Eine Kurvendiskussion arbeitet ein festes Schema ab: Nullstellen aus f(x) = 0, Extrempunkte aus f′(x) = 0 mit Prüfung über f″, Wendepunkte aus f″(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel, dazu Symmetrie und Verhalten für x → ±∞. Beispiel: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 hat den Hochpunkt (−1 | 10), den Tiefpunkt (3 | −22) und den Wendepunkt (1 | −6).
So benutzt du den Kurvendiskussion-Rechner
Im Graphen sind Nullstellen blau, Hochpunkte rot, Tiefpunkte grün und Wende- sowie Sattelpunkte orange markiert. Zusätzlich nennt der Rechner Definitionsbereich, Symmetrie und das Verhalten für x → +∞ und x → −∞. Über „Teilen“ schickst du deine Funktion als Link weiter, „Drucken“ liefert eine Seite mit Ableitungen, Tabellen und Graph. Alle verwandten Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
Kurvendiskussion Schritt für Schritt: das Schema
Eine vollständige Kurvendiskussion (auch Funktionsuntersuchung genannt) folgt in der Schule fast immer derselben Reihenfolge. Der Rechner geht genauso vor und zeigt das Schema unter „So wird gerechnet“.
- Ableitungen bilden: f′(x), f″(x) und f‴(x). Bei Bedarf hilft der Ableitungsrechner mit den Regeln.
- Definitionsbereich: Wo ist f nicht definiert? Bei Brüchen dort, wo der Nenner null wird.
- Symmetrie: f(−x) mit f(x) vergleichen.
- Nullstellen: f(x) = 0 lösen; der Nullstellenrechner zeigt dazu den ausführlichen Lösungsweg, ab Grad 3 meist über eine geratene Nullstelle und den Polynomdivision-Rechner.
- y-Achsenabschnitt: f(0) berechnen.
- Extrempunkte: f′(x) = 0 lösen und mit f″ prüfen.
- Wendepunkte: f″(x) = 0 lösen und den Vorzeichenwechsel von f″ prüfen.
- Grenzverhalten und Monotonie: Was passiert für x → ±∞, wo steigt und fällt der Graph?
| Punkt | notwendige Bedingung | hinreichende Bedingung |
|---|---|---|
| Hochpunkt | f′(x) = 0 | f″(x) < 0 (oder f′ wechselt von + nach −) |
| Tiefpunkt | f′(x) = 0 | f″(x) > 0 (oder f′ wechselt von − nach +) |
| Wendepunkt | f″(x) = 0 | f‴(x) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f″ |
| Sattelpunkt | f′(x) = 0 und f″(x) = 0 | Wendepunkt mit waagerechter Tangente |
Notwendig und hinreichend – was ist der Unterschied?
Die notwendige Bedingung liefert nur Kandidaten: Jeder Hoch- oder Tiefpunkt (im Inneren des Definitionsbereichs) hat eine waagerechte Tangente, also f′(x) = 0. Umgekehrt ist aber nicht jede Stelle mit f′(x) = 0 ein Extremum. Erst die hinreichende Bedingung entscheidet. Ist f″ an der Stelle ebenfalls null, versagt der f″-Test – dann prüft der Rechner, ob f′ das Vorzeichen wechselt, und erkennt so Sattelpunkte.
„f′(0) = 0 bei f(x) = x³, also hat x³ bei x = 0 einen Hoch- oder Tiefpunkt.“
f′(x) = 3x² wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen, f″(0) = 0. Der Punkt (0 | 0) ist ein Sattelpunkt: waagerechte Tangente, aber kein Extremum.
Rechenbeispiele mit dem Kurvendiskussion-Rechner
🧮 Beispiel 1: Die Standardaufgabe f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5
- Ableitungen: f′(x) = 3x² − 6x − 9, f″(x) = 6x − 6, f‴(x) = 6
- Extrema: 3x² − 6x − 9 = 0 → x² − 2x − 3 = 0 → x = −1 und x = 3
- f″(−1) = −12 < 0 → Hochpunkt, f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10
- f″(3) = 12 > 0 → Tiefpunkt, f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22
- Wendepunkt: 6x − 6 = 0 → x = 1, f(1) = −6; f‴ = 6 ≠ 0
Ergebnis: „3 Nullst. · 2 Extrema · 1 Wendep.“ – H(−1 | 10), T(3 | −22), W(1 | −6). Die drei Nullstellen sind krumm: x ≈ −2,1801, x ≈ 0,4889 und x ≈ 4,6913. Keine einfache Symmetrie, Verhalten gegen +∞ bzw. −∞.
🧮 Beispiel 2: W-Kurve f(x) = x⁴ − 2x²
- Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur y-Achse
- Nullstellen: x²(x² − 2) = 0 → x = 0 (doppelt), x = ±√2 ≈ ±1,4142
- f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1) → x = −1, 0, 1
- f″(x) = 12x² − 4: f″(±1) = 8 → Tiefpunkte, f″(0) = −4 → Hochpunkt
- Wendepunkte: 12x² = 4 → x = ±1/√3 ≈ ±0,5774, f = 1/9 − 2/3 = −5/9
Ergebnis: T(−1 | −1), H(0 | 0), T(1 | −1) und die Wendepunkte (±0,5774 | −5/9). Der Rechner gibt den y-Wert als Bruch −5/9 aus. Monotonie: fallend auf (−10; −1), steigend auf (−1; 0), fallend auf (0; 1), steigend auf (1; 10).
🧮 Beispiel 3: Sattelpunkt bei f(x) = x³ − 3x² + 3x
- f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² → nur x = 1, ohne Vorzeichenwechsel
- f″(x) = 6x − 6 → f″(1) = 0, aber f″ wechselt bei x = 1 das Vorzeichen
- Nullstelle: x(x² − 3x + 3) = 0, die Klammer hat D = 9 − 12 < 0 → nur x = 0
Ergebnis: „1 Nullst. · 0 Extrema · 1 Wendep.“ mit dem Sattelpunkt (1 | 1). Die Monotonie-Tabelle zeigt: steigend auf dem ganzen Bereich (−10; 10).
🧮 Beispiel 4: Gebrochenrational f(x) = x/(x² + 1)
- Der Nenner x² + 1 ist nie null → keine Definitionslücke
- f(−x) = −f(x) → punktsymmetrisch zum Ursprung
- f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)² → x = ±1; f(1) = 1/2, f(−1) = −1/2
- f″ wird null bei x = 0 und x = ±√3 ≈ ±1,7321
Ergebnis: „1 Nullst. · 2 Extrema · 3 Wendep.“: T(−1 | −1/2), H(1 | 1/2), Wendepunkte (−1,7321 | −0,433), (0 | 0) und (1,7321 | 0,433). Für x → ±∞ geht f gegen 0 – die x-Achse ist waagerechte Asymptote.
🧮 Beispiel 5: Polstelle bei f(x) = 1/(x − 2)
- Nenner null bei x = 2 → Definitionslücke
- f(0) = −1/2, keine Nullstelle, keine Extrema
Ergebnis: Definitionsbereich „ℝ ohne 2“, in der Tabelle als „Polstelle / Lücke“ bei x = 2. Monotonie: fallend auf (−10; 2) und fallend auf (2; 10); für x → ±∞ geht f gegen 0.
Ergebnistabelle der Kurvendiskussion zu Beispiel 1
| Art | x | y |
|---|---|---|
| Nullstelle | −2,1801 | 0 |
| Nullstelle | 0,4889 | 0 |
| Nullstelle | 4,6913 | 0 |
| y-Achsenabschnitt | 0 | 5 |
| Hochpunkt | −1 | 10 |
| Tiefpunkt | 3 | −22 |
| Wendepunkt | 1 | −6 |
Symmetrie und Grenzverhalten bei der Kurvendiskussion
Symmetrie schnell erkennen
Bei Polynomen verraten die Exponenten die Symmetrie: nur gerade Exponenten (dazu zählt die Konstante mit x⁰) bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse, nur ungerade Exponenten Punktsymmetrie zum Ursprung. x⁴ − 2x² ist achsensymmetrisch, x³ − 3x punktsymmetrisch, x³ − 3x² − 9x + 5 keins von beiden. Allgemein gilt: f(−x) = f(x) heißt achsensymmetrisch, f(−x) = −f(x) punktsymmetrisch. Der Rechner prüft das an mehreren Teststellen und schreibt das Ergebnis aus.
Grenzverhalten von Polynomen
Für sehr große |x| bestimmt allein der Summand mit der höchsten Potenz, wohin der Graph läuft. Du brauchst also nur den Grad n und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten aₙ:
| Grad n | aₙ | x → −∞ | x → +∞ | Beispiel |
|---|---|---|---|---|
| gerade | positiv | +∞ | +∞ | x⁴ − 2x² |
| gerade | negativ | −∞ | −∞ | −x² + 4 |
| ungerade | positiv | −∞ | +∞ | x³ − 3x² − 9x + 5 |
| ungerade | negativ | +∞ | −∞ | −x³ + x |
Bei gebrochenrationalen Funktionen und e-Funktionen ist das Grenzverhalten oft ein fester Wert – wie die 0 bei x/(x² + 1). Wie man solche Grenzwerte sauber bestimmt, auch links- und rechtsseitig an Polstellen, zeigt der Grenzwertrechner.
Kurvendiskussion bei e-Funktionen
Das Schema funktioniert auch jenseits von Polynomen. Nimm f(x) = x · e−x: Mit der Produktregel ist f′(x) = (1 − x) · e−x und f″(x) = (x − 2) · e−x. Weil e−x nie null wird, entscheidet nur die Klammer. Der Rechner findet den Hochpunkt (1 | 0,3679) – das ist 1/e – und den Wendepunkt (2 | 0,2707), also 2/e². Die Werte zeigen, wie die Kurve erst steigt und danach immer flacher abfällt:
Funktionswerte von f(x) = x · e−x
💡 Tipp: Bei Winkelfunktionen wie sin(x) gibt es unendlich viele Extrema. Stell den Bereich auf eine Periode ein, etwa 0 bis 6,28. Dann listet der Rechner den Hochpunkt bei x ≈ 1,5708 (π/2) und den Tiefpunkt bei x ≈ 4,7124 (3π/2). Gradmaße und exakte Winkelwerte liefert der Trigonometrie-Rechner.
🤓 Wusstest du? Die Kurvendiskussion ist so alt wie die Differentialrechnung selbst: Gottfried Wilhelm Leibniz’ erste Veröffentlichung dazu erschien 1684 und trug „Maxima und Minima“ schon im Titel. Die Idee, Hoch- und Tiefpunkte über eine waagerechte Tangente zu finden, war also der Startpunkt der Analysis.
Häufige Fehler in der Kurvendiskussion
- ✅ y-Wert vergessen? Ein Punkt braucht x und y. Setze x immer in f ein – nicht in f′ oder f″.
- ✅ Hinreichende Bedingung geprüft? f′(x) = 0 allein ist noch kein Extremum.
- ✅ f″ = 0 am Kandidaten? Dann den Vorzeichenwechsel von f′ prüfen – es kann ein Sattelpunkt sein.
- ✅ Definitionslücken beachtet? An einer Polstelle wechselt die Monotonie oft, ohne dass dort ein Extremum liegt.
- ✅ Bereich groß genug? Der Rechner untersucht nur den eingestellten Bereich.
- ✅ Ableitungen kontrolliert? Ein Vorzeichenfehler in f′ zieht sich durch die ganze Aufgabe.
⚠️ Achtung: Engst du den Bereich ein, fallen Punkte außerhalb weg. Bei f(x) = x³ − 3x und dem Bereich 0 bis 5 meldet der Rechner nur den Tiefpunkt (1 | −2), der Hochpunkt (−1 | 2) liegt außerhalb. Symmetrie und Grenzverhalten gelten dagegen immer für die ganze Funktion.
Willst du nach der Kurvendiskussion die Fläche unter dem Graphen bestimmen, geht es mit dem Integralrechner weiter. Musst du die Gleichung f′(x) = 0 von Hand lösen und kommt dabei eine quadratische Gleichung heraus, hilft der Mitternachtsformel-Rechner.
Häufige Fragen zum Kurvendiskussion-Rechner
Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie und Grenzverhalten. Oft kommt am Ende eine Skizze des Graphen dazu. Der Rechner liefert alle diese Punkte samt Graph.
Wie berechnet man einen Hochpunkt?
Du setzt die erste Ableitung gleich null und löst nach x auf. Ist die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ, liegt ein Hochpunkt vor. Den y-Wert erhältst du durch Einsetzen von x in die Ausgangsfunktion f.
Wie berechnet man einen Wendepunkt?
Setze die zweite Ableitung gleich null und prüfe, ob f″ dort das Vorzeichen wechselt oder f‴ ungleich null ist. Den y-Wert berechnest du mit f(x). Am Wendepunkt wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt.
Was ist ein Sattelpunkt?
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also mit f′(x) = 0 und f″(x) = 0. Der Graph macht dort eine kurze Pause, steigt oder fällt danach aber in dieselbe Richtung weiter. Beispiel ist x³ bei x = 0.
Wie viele Extrempunkte kann eine Funktion 3. Grades haben?
Eine Funktion 3. Grades hat entweder zwei Extrempunkte (einen Hoch- und einen Tiefpunkt) oder gar keinen. Das hängt davon ab, ob die quadratische Gleichung f′(x) = 0 zwei Lösungen hat. Einen Wendepunkt hat sie immer genau einmal.
Wann ist eine Funktion achsensymmetrisch?
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(−x) = f(x) für alle x gilt. Bei Polynomen ist das der Fall, wenn nur gerade Exponenten vorkommen. Ein Beispiel ist f(x) = x⁴ − 2x².
Was bedeutet Monotonie?
Monotonie beschreibt, ob ein Graph steigt oder fällt. Ist f′(x) > 0 auf einem Intervall, ist f dort streng monoton steigend, bei f′(x) < 0 streng monoton fallend. Die Intervallgrenzen liegen an den Extremstellen und Definitionslücken.
Kann der Rechner auch gebrochenrationale Funktionen untersuchen?
Ja. Er findet Polstellen bzw. Lücken im gewählten Bereich, schreibt den Definitionsbereich als „ℝ ohne …“ und berücksichtigt die Lücken bei der Monotonie. Auch Grenzwerte wie „gegen 0“ für x → ±∞ werden angegeben.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
🎯 NullstellenrechnerNullstellen mit Rechenweg, Vielfachheit und Linearfaktoren.
♾️ GrenzwertrechnerLimes links- und rechtsseitig, auch gegen unendlich.
∫ IntegralrechnerFlächen unter der Kurve und Stammfunktionen.
So rechnet unser Rechner: f′, f″ und f‴ werden symbolisch mit der freien Bibliothek nerdamer (MIT-Lizenz) gebildet, die auf netzblogr.de selbst liegt. Nullstellen von f, f′ und f″ sucht der Rechner im gewählten Bereich über Vorzeichenwechsel (8.000 Abschnitte) und Bisektion, bei Polynomen über die vollständige Nullstellensuche. Extrema: f′ = 0 mit f″-Test, bei f″ = 0 Vorzeichenwechsel von f′; Wendepunkte: Vorzeichenwechsel von f″. Symmetrie wird an Teststellen geprüft, das Grenzverhalten symbolisch und numerisch. Alles läuft in deinem Browser.
Grundlage: allgemeine Regeln der Analysis · Stand: November 2026