Wurzelrechner

Der Wurzel-Rechner zieht die Quadratwurzel, die Kubikwurzel und jede n-te Wurzel bis zum Exponenten 100 – auf acht Nachkommastellen genau. Bei ganzen Zahlen radiziert er zusätzlich teilweise, aus √72 wird also 6 · √2. Mit Potenzschreibweise, Probe, Rechenweg und einer Wurzel-Tabelle von 1 bis 25 hast du alles, was du für Hausaufgaben, Prüfung oder Alltag brauchst.

So benutzt du den Wurzel-Rechner

Die Probe potenziert das Ergebnis wieder, sodass du siehst: 8,48528137² ergibt 72. Die Tabelle unter dem Ergebnis listet Quadrat- und Kubikwurzeln sowie Quadrat- und Kubikzahlen von 1 bis 25. Über „Teilen“ verschickst du deine Eingabe als Link, „Drucken“ bringt alles aufs Papier. Weitere Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.

Wurzel berechnen: Formel und Begriffe

Wurzelziehen – auch Radizieren genannt – ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Fachbegriffe:

• Radikand: die Zahl unter dem Wurzelzeichen, etwa 72 in √72.
• Wurzelexponent: die kleine Zahl links oben. Bei der Quadratwurzel (n = 2) lässt man sie weg.
• Wurzelwert: das Ergebnis, also 8,48528137 bei √72.

Die Schreibweise als Potenz mit Bruch im Exponenten ist besonders praktisch: √x = x^(0,5) und ∛x = x^(1/3). So lassen sich Wurzeln mit den Potenzgesetzen umformen und in jeden Taschenrechner mit Potenztaste eingeben.

Rechenbeispiele mit dem Wurzel-Rechner

Teilweise radizieren: Wurzeln vereinfachen

Beim teilweisen Radizieren ziehst du den Teil des Radikanden aus der Wurzel, der eine „perfekte“ Potenz ist. So gehst du vor:

1. Suche die größte Quadratzahl (bei ∛ die größte Kubikzahl), die den Radikanden teilt.
2. Schreibe den Radikanden als Produkt: 72 = 36 · 2.
3. Ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl und setze sie vor das Wurzelzeichen: 6 · √2.

Wenn du die passende Quadratzahl nicht siehst, hilft die Zerlegung in Primfaktoren: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Jedes Paar gleicher Faktoren darf aus der Quadratwurzel heraus – hier ein Paar 2er und ein Paar 3er, also 2 · 3 · √2 = 6 · √2. Die Zerlegung liefert der Primfaktorzerlegung-Rechner.

Wurzelgesetze: So rechnest du mit Wurzeln

Für positive Radikanden gelten diese Regeln. Sie folgen alle aus der Potenzschreibweise x^(1/n):

Wurzel ziehen ohne Taschenrechner

Schritt 1: Schätzen mit Quadratzahlen

√20 liegt zwischen √16 = 4 und √25 = 5, und zwar näher an 4. Wer die Quadratzahlen kennt, liegt mit einer Schätzung wie 4,5 schon recht gut.

Schritt 2: Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren – auch babylonisches Wurzelziehen genannt – verbessert eine Schätzung schrittweise: neuer Wert = (alter Wert + Radikand ÷ alter Wert) ÷ 2. Für √20 mit Startwert 4:

• 1. Schritt: (4 + 20 ÷ 4) ÷ 2 = (4 + 5) ÷ 2 = 4,5
• 2. Schritt: (4,5 + 20 ÷ 4,5) ÷ 2 = 4,4722…
• 3. Schritt: ergibt 4,47213595… – acht Nachkommastellen stimmen bereits

Quadrat- und Kubikzahlen zum Merken

Wofür du den Wurzel-Rechner im Alltag brauchst

Wurzeln tauchen immer dann auf, wenn du von einer Fläche oder einem Volumen auf eine Länge zurückrechnen willst – oder wenn sich etwas über mehrere Perioden vervielfacht. Typische Situationen:

• Fläche → Seitenlänge: Ein quadratischer Rasen mit 64 m² hat 8 m lange Seiten.
• Volumen → Kantenlänge: Ein Würfel mit 27 Litern Inhalt hat 30 cm Kantenlänge, denn ∛27.000 cm³ = 30 cm.
• Diagonalen und Abstände: Jede Rechnung mit dem Satz des Pythagoras endet mit einer Quadratwurzel.
• Wachstum und Zinsen: Die durchschnittliche jährliche Rate über n Jahre ist die n-te Wurzel aus dem Gesamtfaktor.
• Statistik: Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz – der Durchschnittsrechner gibt sie direkt mit aus.
• Physik: Ohne Luftwiderstand fällt ein Stein aus 20 m Höhe t = √(2 · 20 ÷ 9,81) ≈ 2,02 Sekunden lang.

Wurzeln aus negativen Zahlen und andere Stolperfallen

Gerade Wurzeln (Quadratwurzel, 4. Wurzel …) aus negativen Zahlen gibt es in den reellen Zahlen nicht, denn jede Zahl mit gerader Hochzahl wird positiv. Der Rechner meldet dann: „Aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle gerade Wurzel.“ In den komplexen Zahlen hilft die imaginäre Einheit i mit i² = −1. Ungerade Wurzeln wie ∛(−8) = −2 sind dagegen kein Problem.

• ✅ Exponent geprüft? ∛ statt √ ergibt ein völlig anderes Ergebnis: ∛64 = 4, √64 = 8.
• ✅ Summen nicht aufgeteilt? √(a + b) ist nicht √a + √b.
• ✅ Größte Quadratzahl gewählt? √72 = 2 · √18 ist richtig, aber noch nicht fertig vereinfacht.
• ✅ Einheiten bedacht? Die Wurzel aus m² ergibt m, die Kubikwurzel aus cm³ ergibt cm.
• ✅ Sinnvoll gerundet? Acht Nachkommastellen braucht selten jemand – runde passend mit dem Zahlen-runden-Rechner.

Häufige Fragen zum Wurzel-Rechner

Wie berechnet man eine Wurzel?

Du suchst die Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Radikanden ergibt, bei der n-ten Wurzel n-mal. Ohne Rechner schätzt du über Quadratzahlen und verbesserst mit dem Heron-Verfahren. Der Wurzel-Rechner liefert das Ergebnis sofort auf acht Nachkommastellen.

Was ist die Wurzel aus 2?

√2 ist ungefähr 1,41421356. Die Zahl ist irrational, ihre Nachkommastellen enden also nie. Sie ist die Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1.

Wie vereinfacht man eine Wurzel?

Zerlege den Radikanden in die größte Quadratzahl und einen Rest und ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl. Beispiel: √72 = √(36 · 2) = 6 · √2. Das nennt man teilweise radizieren.

Kann man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

Ungerade Wurzeln ja: ∛(−27) = −3. Gerade Wurzeln wie √(−4) haben in den reellen Zahlen keine Lösung. In den komplexen Zahlen ist √(−4) = 2i.

Ist die Wurzel aus 9 gleich 3 oder −3?

√9 ist per Definition 3, also immer der nicht negative Wert. Die Gleichung x² = 9 hat aber zwei Lösungen, 3 und −3. Deshalb schreibt man beim Lösen x = ±√9.

Was ist eine Kubikwurzel?

Die Kubikwurzel ∛x ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert x ergibt, also die dritte Wurzel. Beispiel: ∛125 = 5, weil 5 · 5 · 5 = 125. Mit ihr berechnest du etwa die Kantenlänge eines Würfels aus seinem Volumen.

Wie schreibe ich eine Wurzel als Potenz?

Die n-te Wurzel entspricht der Hochzahl 1/n: ⁿ√x = x^(1/n). Die Quadratwurzel ist also x^0,5, die Kubikwurzel x^(1/3). Steht im Radikanden eine Potenz, gilt ⁿ√(xᵐ) = x^(m/n).

Darf man Wurzeln addieren?

Nur gleichartige Wurzeln lassen sich zusammenfassen, etwa 2√3 + 5√3 = 7√3. Die Wurzel einer Summe darfst du nicht aufteilen: √(9 + 16) ist 5, nicht 7.

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