Ableitungsrechner

Mit dem Ableitungsrechner leitest du jede Funktion f(x) online ab – von der ersten bis zur fünften Ableitung, mit Rechenweg, Graph und auf Wunsch mit Steigung und Tangente an einer Stelle x₀. Du tippst die Funktion so ein, wie du sie im Heft schreibst, und siehst das Ergebnis schon beim Tippen. Alles läuft direkt in deinem Browser, nichts wird an einen Server geschickt.

So benutzt du den Ableitungsrechner

Ganz oben steht die erste Ableitung f′(x) mit einem Kopier-Symbol, darunter die höheren Ableitungen f″, f‴, f⁽⁴⁾ und f⁽⁵⁾. Der Graph zeigt f(x) als durchgezogene Linie, f′(x) gestrichelt und – falls du x₀ angibst – die Tangente in Grün samt Berührpunkt. Unter „Verwendete Ableitungsregeln“ nennt der Rechner die Regeln, die er in deiner Eingabe erkennt, und das Ergebnis als Klartext. Mit „Teilen“ kopierst du einen Link mit deiner Funktion, „Drucken“ bringt alles aufs Papier. Weitere Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.

Ableitung berechnen: Formel und Regeln

Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Du legst eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen und schiebst den zweiten Punkt immer näher an den ersten heran. Aus der Sekante wird so die Tangente, und ihre Steigung ist f′(x₀). Wie solche Grenzwerte funktionieren, zeigt dir der Grenzwertrechner mit Wertetabelle.

Im Alltag rechnet niemand jedes Mal den Grenzwert aus. Stattdessen nutzt du fertige Regeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Mit ihnen und einer Handvoll Grundableitungen lässt sich jede Funktion aus der Schule ableiten – genau so arbeitet auch der Ableitungsrechner.

Ableitung von Hand: x² an der Stelle 3

Für f(x) = x² gilt (3 + h)² − 9 = 6h + h². Geteilt durch h bleibt 6 + h. Lässt du h gegen 0 laufen, erhältst du f′(3) = 6 – genau das liefert auch die Potenzregel: f′(x) = 2x, also 2 · 3 = 6.

Rechenbeispiele mit dem Ableitungsrechner

Tabelle: Grundableitungen und Ableitungsregeln

Diese Grundableitungen solltest du kennen. In der rechten Spalte steht, wie du die Funktion in den Ableitungsrechner eingibst.

Aus diesen Bausteinen setzt du mit den Ableitungsregeln jede zusammengesetzte Funktion zusammen:

Was die Ableitung über den Graphen verrät

Die erste Ableitung ist mehr als eine Rechenübung. Sie beschreibt, wie sich eine Größe verändert – die momentane Änderungsrate. Am Vorzeichen von f′ liest du ab, ob der Graph steigt oder fällt.

• f′(x) > 0: Der Graph steigt an dieser Stelle.
• f′(x) < 0: Der Graph fällt.
• f′(x) = 0: waagerechte Tangente – Kandidat für einen Hoch- oder Tiefpunkt.
• f″(x) > 0: Linkskurve, f″(x) < 0: Rechtskurve. Wechselt f″ das Vorzeichen, liegt ein Wendepunkt vor.

Die Normalparabel wird also immer steiler: Bei x = 4 steigt sie achtmal so stark wie bei x = 1. Im Graphen des Rechners siehst du das an der gestrichelten Linie f′(x) = 2x, die gleichmäßig wächst. Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit allen Bedingungen findet der Kurvendiskussion-Rechner, die Nullstellen von f′ der Nullstellenrechner.

Warum zeigt der Ableitungsrechner das Ergebnis anders an als mein Buch?

Eine Ableitung lässt sich auf viele gleichwertige Arten schreiben. Bei x³ · sin(x) zeigt der Rechner 3sin(x) · x² + cos(x) · x³, im Buch steht vielleicht x² · (3 sin x + x cos x). Beides ist dasselbe – nur einmal ausgeklammert. Bei Brüchen fasst der Rechner nicht immer auf einen Hauptnenner zusammen: Für (x² + 1)/(x − 1) erhältst du eine Summe aus zwei Brüchen, die zusammengefasst (x² − 2x − 1) ÷ (x − 1)² ergibt. Umformen kannst du solche Terme mit dem CAS-Rechner.

Ableitungen im Alltag: Geschwindigkeit, Wachstum, Kosten

Überall, wo sich etwas ändert, steckt eine Ableitung. Physiker, Ökonominnen und Ingenieure nutzen sie täglich, oft ohne das Wort zu sagen.

• Bewegung: Der Weg abgeleitet ergibt die Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit abgeleitet die Beschleunigung. Den umgekehrten Weg – von der Geschwindigkeit zurück zur Strecke – gehst du mit dem Integralrechner.
• Wirtschaft: Die Ableitung der Kostenfunktion heißt Grenzkosten – sie sagt, was das nächste Stück ungefähr zusätzlich kostet.
• Wachstum: Bei eˣ ist die Ableitung wieder eˣ. Je größer ein Bestand, desto schneller wächst er – typisch für exponentielles Wachstum.
• Geometrie: Die Tangente an einer Kurve ist die beste Gerade, die die Kurve in der Nähe von x₀ annähert.

Welche Funktionen haben keine Ableitung?

Nicht jede Funktion ist überall ableitbar. Die Betragsfunktion |x| hat bei x = 0 einen Knick: Links ist die Steigung −1, rechts +1. Eine eindeutige Tangente gibt es dort nicht. Auch an Definitionslücken wie bei 1/x an der Stelle 0 existiert keine Ableitung. Die Formel für f′ gilt deshalb immer nur dort, wo f selbst definiert ist und keinen Knick hat.

Häufige Fehler beim Ableiten

• ✅ Konstanten fallen weg: Die Ableitung von −5 ist 0, nicht −5.
• ✅ Exponent um 1 verringern: (x³)′ = 3x², nicht 3x³.
• ✅ Produkt ist nicht „Ableitung mal Ableitung“: Bei u · v immer die Produktregel nutzen.
• ✅ Innere Ableitung nicht vergessen: (sin(3x))′ = 3cos(3x), nicht cos(3x).
• ✅ Minus in der Quotientenregel: Erst u′ · v, dann minus u · v′ – die Reihenfolge zählt.
• ✅ Klammern bei der Eingabe: e^(2x) statt e^2x, sonst rechnet der Rechner e² · x.
• ✅ ln und lg unterscheiden: ln(x) ist der natürliche Logarithmus, lg(x) und log(x) bedeuten im Rechner den Zehnerlogarithmus.

Häufige Fragen zum Ableitungsrechner

Was ist eine Ableitung einfach erklärt?

Die Ableitung f′(x) gibt an, wie steil der Graph einer Funktion an der Stelle x ist. Sie ist die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Ist f′ positiv, steigt der Graph, ist f′ negativ, fällt er.

Wie leite ich x² ab?

Mit der Potenzregel: Der Exponent wandert als Faktor nach vorn und wird um 1 kleiner. Aus x² wird 2x, aus x³ wird 3x², aus 5x⁴ wird 20x³.

Wie berechne ich die Steigung an einer bestimmten Stelle?

Bilde zuerst die Ableitung f′(x) und setze dann die Stelle ein. Bei f(x) = 3x² + 2x − 5 ist f′(x) = 6x + 2, an der Stelle 1 also 8. Im Ableitungsrechner trägst du dafür die Zahl ins Feld „Stelle x₀“ ein.

Wie bestimme ich die Tangentengleichung?

Die Tangente an der Stelle x₀ lautet y = f′(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Du brauchst also den Funktionswert und die Steigung an dieser Stelle. Der Rechner gibt die fertige Gleichung in der Form y = m · x + b aus und zeichnet sie in den Graphen.

Wann brauche ich die Kettenregel?

Immer dann, wenn eine Funktion in einer anderen steckt, etwa sin(3x), e^(2x) oder ln(x² + 1). Du leitest die äußere Funktion ab, lässt das Innere stehen und multiplizierst mit der Ableitung der inneren Funktion.

Was ist die Ableitung von eˣ?

Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ – das macht die e-Funktion besonders. Steht im Exponenten ein Term wie 2x, kommt nach der Kettenregel dessen Ableitung als Faktor dazu: (e^(2x))′ = 2e^(2x).

Was bedeutet die zweite Ableitung?

Die zweite Ableitung f″ beschreibt, wie sich die Steigung ändert, also die Krümmung des Graphen. Ist f″ positiv, macht der Graph eine Linkskurve, ist f″ negativ, eine Rechtskurve. In der Physik ist die zweite Ableitung des Weges die Beschleunigung.

Wie oft kann ich mit dem Ableitungsrechner ableiten?

Im Feld „Wie oft ableiten?“ wählst du 1 bis 5. Der Rechner zeigt dann alle Ableitungen von f′ bis zur gewählten Ordnung untereinander an. Bei Polynomen siehst du so schön, wie der Grad mit jeder Ableitung um 1 sinkt.

Ist der Ableitungsrechner kostenlos und brauche ich eine Anmeldung?

Der Ableitungsrechner ist kostenlos und ohne Anmeldung nutzbar. Die Berechnung läuft vollständig in deinem Browser, deine Funktionen werden nicht an einen Server übertragen.

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