Satz des Pythagoras Rechner
Fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck berechnen oder einen rechten Winkel prüfen – mit maßstabsgetreuer Skizze, Winkeln, Fläche und Rechenweg.
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- Stand: November 2026
Mit dem Satz des Pythagoras Rechner berechnest du die fehlende Seite in jedem rechtwinkligen Dreieck – die Hypotenuse oder eine Kathete. Zusätzlich prüft er, ob drei Seiten überhaupt einen rechten Winkel ergeben, zeichnet eine maßstabsgetreue Skizze und liefert Fläche, Umfang, Winkel und Höhe gleich mit. Ideal für Hausaufgaben, Heimwerker und alle, die eine Diagonale ausmessen wollen.
Kurz erklärt
Der Satz des Pythagoras lautet a² + b² = c²: In einem rechtwinkligen Dreieck ergeben die Quadrate der beiden Katheten zusammen das Quadrat der Hypotenuse. Die Hypotenuse berechnest du mit c = √(a² + b²), eine Kathete mit b = √(c² − a²). Beispiel: Katheten 3 und 4 ergeben die Hypotenuse 5.
So benutzt du den Satz des Pythagoras Rechner
Im Reiter „Rechter Winkel?“ trägst du drei Seiten in beliebiger Reihenfolge ein. Der Rechner sortiert sie selbst, vergleicht die Quadrate und nennt den Winkel gegenüber der längsten Seite. Mit „Teilen“ schickst du deine Aufgabe als Link weiter, „Drucken“ bringt Skizze und Rechenweg aufs Papier. Mehr Werkzeuge für Geometrie findest du bei den Matherechnern.
Satz des Pythagoras: Formel und Erklärung
c = √(a² + b²) · a = √(c² − b²) · b = √(c² − a²)
Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten (a und b). Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse (c) – sie ist immer die längste Seite.
So gehst du vor: Erst quadrierst du die bekannten Seiten. Suchst du die Hypotenuse, addierst du die Quadrate; suchst du eine Kathete, ziehst du das kleinere Quadrat vom größeren ab. Zum Schluss ziehst du die Wurzel. Wurzeln von Hand oder mit vielen Nachkommastellen berechnet der Wurzelrechner.
Was bedeutet a² + b² = c² anschaulich?
Zeichnest du über jede Seite ein Quadrat, dann haben die beiden kleinen Quadrate zusammen genau so viel Fläche wie das große. Beim Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 sind das 9 + 16 = 25 Flächeneinheiten.
Flächen der Quadrate im 3-4-5-Dreieck
c = a + b, also 3 + 4 = 7. Oder: Wurzel ziehen „vergessen“ und c = 25 angeben.
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete, aber kürzer als beide zusammen.
Rechenbeispiele mit dem Pythagoras-Rechner
🧮 Beispiel 1: Bildschirmdiagonale berechnen
Anna misst an ihrem Monitor eine sichtbare Breite von 59,8 cm und eine Höhe von 33,6 cm. Wie groß ist die Diagonale?
- Reiter „Hypotenuse c“: a = 59,8 und b = 33,6
- 59,8² + 33,6² = 3.576,04 + 1.128,96 = 4.705
- √4.705 = 68,593 cm; geteilt durch 2,54 cm pro Zoll = 27,0 Zoll
Ergebnis: Die Diagonale beträgt 68,59 cm – ein 27-Zoll-Monitor. Zoll in Zentimeter und umgekehrt rechnest du auch mit dem Dreisatz-Rechner um.
🧮 Beispiel 2: Wie hoch reicht die Leiter?
Tim stellt eine 4 m lange Leiter an die Hauswand. Der Fuß steht 1,20 m von der Wand entfernt.
- Reiter „Kathete“: Hypotenuse c = 4, bekannte Kathete = 1,2
- b = √(4² − 1,2²) = √(16 − 1,44) = √14,56
- b = 3,8158 m; Winkel am Boden: 72,54°
Ergebnis: Die Leiter reicht 3,82 m hoch. Der Anstellwinkel von 72,54° liegt im Bereich von 65 bis 75 Grad, der für Anlegeleitern als sicher gilt.
🧮 Beispiel 3: Sparrenlänge beim Dach
Ein Pultdach überspannt waagerecht 4,50 m und steigt dabei um 2,40 m an. Wie lang muss der Sparren mindestens sein (ohne Überstand)?
- Reiter „Hypotenuse c“: a = 4,5 und b = 2,4
- 4,5² + 2,4² = 20,25 + 5,76 = 26,01
- √26,01 = 5,1
Ergebnis: Der Sparren ist 5,10 m lang. Der Rechner zeigt zusätzlich den Winkel 28,07° – das ist die Dachneigung.
🧮 Beispiel 4: Ist das Beet wirklich rechtwinklig?
Sophie hat ein Hochbeet mit den Seiten 2,40 m und 3,20 m gebaut. Die Diagonale misst 4,00 m.
- Reiter „Rechter Winkel?“: 2,4 · 3,2 · 4
- Kürzere Seiten: 2,4² + 3,2² = 5,76 + 10,24 = 16
- Längste Seite: 4² = 16 → beide Werte gleich
Ergebnis: „Rechtwinklig ✓“. Hätte die Diagonale bei Seiten von 3 m und 4 m 5,10 m gemessen, wäre der Winkel 92,41° – also leicht stumpf.
🧮 Beispiel 5: Abkürzung über die Wiese
Ein rechteckiger Park ist 300 m breit und 400 m lang. Statt am Rand entlangzugehen, nimmt Ben den Weg quer über die Wiese.
- Weg am Rand: 300 m + 400 m = 700 m
- Diagonale: √(300² + 400²) = √(90.000 + 160.000) = √250.000
- = 500 m
Ergebnis: Ben spart 200 m. Die Zahlen 300, 400 und 500 sind das 100-Fache von 3, 4 und 5.
🧮 Beispiel 6: Passt der Stab in den Karton? (Raumdiagonale)
Ein Karton misst innen 40 × 30 × 20 cm. Wie lang darf ein Stab höchstens sein, der schräg hineinpassen soll?
- Bodendiagonale: √(40² + 30²) = √2.500 = 50 cm
- Zweiter Durchgang: a = 50, b = 20 → √(2.500 + 400) = √2.900
- = 53,8516 cm
Ergebnis: Bis etwa 53,8 cm passt der Stab. Allgemein gilt für die Raumdiagonale d = √(a² + b² + c²). Das Volumen des Kartons zeigt der Volumenrechner.
Tabellen zum Satz des Pythagoras
Pythagoreische Tripel: ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke
Diese Zahlentripel erfüllen a² + b² = c² exakt. Jedes Vielfache funktioniert ebenfalls, zum Beispiel 6-8-10 oder 30-40-50.
| a | b | c | Probe |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 12 | 35 | 37 | 144 + 1.225 = 1.369 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1.600 = 1.681 |
| 11 | 60 | 61 | 121 + 3.600 = 3.721 |
Bildschirmdiagonale: Zoll in Breite und Höhe (Format 16:9)
Für Fernseher und Monitore im Format 16:9 gilt: Breite = Diagonale × 16 ÷ √337, Höhe = Diagonale × 9 ÷ √337 (denn 16² + 9² = 337). Werte gerundet auf Millimeter.
| Diagonale | in cm | Breite | Höhe |
|---|---|---|---|
| 24 Zoll | 61,0 cm | 53,1 cm | 29,9 cm |
| 27 Zoll | 68,6 cm | 59,8 cm | 33,6 cm |
| 32 Zoll | 81,3 cm | 70,8 cm | 39,8 cm |
| 43 Zoll | 109,2 cm | 95,2 cm | 53,5 cm |
| 55 Zoll | 139,7 cm | 121,8 cm | 68,5 cm |
| 65 Zoll | 165,1 cm | 143,9 cm | 80,9 cm |
Die Angaben beziehen sich auf die sichtbare Bildfläche; das Gehäuse ist etwas größer.
Rechten Winkel prüfen: die 3-4-5-Regel
Der Satz des Pythagoras gilt auch umgekehrt: Wenn a² + b² = c² stimmt, ist das Dreieck rechtwinklig. Genau das nutzt der Reiter „Rechter Winkel?“ – und Handwerker seit jeher beim Abstecken von Fundamenten, Terrassen oder Beeten.
- Miss vom Eckpunkt 3 Einheiten an der einen Seite ab und markiere den Punkt.
- Miss 4 Einheiten an der anderen Seite ab und markiere auch diesen Punkt.
- Beträgt der Abstand zwischen beiden Markierungen genau 5 Einheiten, ist der Winkel 90°.
Die Einheit wählst du passend zur Größe: 30-40-50 cm für ein Regal, 60-80-100 cm für eine Terrasse, 3-4-5 m für ein Gartenhaus. Je größer das Dreieck, desto genauer wird der Winkel.
💡 Tipp: Bei Rechtecken genügt ein Blick auf die Diagonalen: Sind beide gleich lang, sind alle vier Winkel rechte Winkel. Den Sollwert der Diagonale rechnest du mit dem Reiter „Hypotenuse c“ aus.
Pythagoras im Alltag und in der Mathematik
Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem
Der Abstand zwischen P(x₁ | y₁) und Q(x₂ | y₂) ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten Δx und Δy: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Für P(1 | 2) und Q(7 | 10) gilt Δx = 6, Δy = 8 und damit d = √(36 + 64) = 10.
Kathetensatz und Höhensatz
Zur „Satzgruppe des Pythagoras“ gehören zwei Verwandte. Die Höhe h auf c teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p und q. Dann gilt der Kathetensatz a² = c · p und der Höhensatz h² = p · q. Im 3-4-5-Dreieck ist p = 9 ÷ 5 = 1,8 und q = 16 ÷ 5 = 3,2. Die Höhe ist √(1,8 · 3,2) = √5,76 = 2,4 – genau das zeigt der Rechner als „Höhe auf c“ (berechnet als a · b ÷ c).
Wenn eine Seite unbekannt in zwei Termen steckt
Manche Aufgaben führen auf eine quadratische Gleichung: Die Katheten sind x und x + 7, die Hypotenuse 13. Aus x² + (x + 7)² = 169 wird x² + 7x − 60 = 0. Die Lösung x = 5 liefert der pq-Formel-Rechner – das Dreieck ist 5-12-13.
Steigung und Rampenlänge
Eine Rampe soll auf 5 m Länge (waagerecht gemessen) 30 cm Höhe überwinden. Die Steigung beträgt 0,3 ÷ 5 = 6 %, die tatsächliche Rampenlänge √(25 + 0,09) ≈ 5,009 m. Prozentangaben prüfst du mit dem Prozentrechner.
🤓 Wusstest du? Der Zusammenhang war schon lange vor Pythagoras von Samos (6. Jahrhundert v. Chr.) bekannt. Die babylonische Keilschrifttafel Plimpton 322, die auf etwa 1800 v. Chr. datiert wird, enthält Zahlen, die als pythagoreische Tripel gedeutet werden. Benannt ist der Satz trotzdem nach dem griechischen Gelehrten.
Häufige Fehler beim Satz des Pythagoras
- ✅ Ist das Dreieck rechtwinklig? Nur dann gilt a² + b² = c². Für andere Dreiecke brauchst du den Kosinussatz.
- ✅ Hypotenuse richtig erkannt? Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel – nicht unbedingt „unten“ oder „schräg“ in der Skizze.
- ✅ Plus oder Minus? Hypotenuse gesucht: addieren. Kathete gesucht: subtrahieren.
- ✅ Gleiche Einheiten? Nicht 1,20 m und 400 cm mischen – vorher umrechnen.
- ✅ Wurzel gezogen? a² + b² ist das Quadrat der Hypotenuse, nicht die Hypotenuse selbst.
- ✅ Zu früh gerundet? Rechne mit vollen Zwischenergebnissen weiter und runde erst am Ende, etwa mit dem Zahlen-runden-Rechner.
⚠️ Achtung: Im Reiter „Kathete“ muss die Hypotenuse länger sein als die bekannte Kathete. Sonst meldet der Rechner „Die Hypotenuse muss länger sein als die Kathete“ – meist sind dann die Werte vertauscht.
Häufige Fragen zum Satz des Pythagoras Rechner
Wie lautet der Satz des Pythagoras?
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Dabei sind a und b die Katheten am rechten Winkel und c die gegenüberliegende Hypotenuse. Die Quadrate der Katheten ergeben zusammen das Quadrat der Hypotenuse.
Wie berechne ich die Hypotenuse?
Quadriere beide Katheten, addiere die Ergebnisse und ziehe die Wurzel: c = √(a² + b²). Bei a = 6 und b = 8 ergibt sich √(36 + 64) = √100 = 10.
Wie berechne ich eine Kathete mit dem Satz des Pythagoras?
Ziehe das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und nimm die Wurzel: b = √(c² − a²). Bei c = 13 und a = 5 ist b = √(169 − 25) = √144 = 12.
Was ist die Hypotenuse und was sind Katheten?
Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten bilden den rechten Winkel und heißen Katheten.
Gilt der Satz des Pythagoras für jedes Dreieck?
Nein, nur für rechtwinklige Dreiecke. Bei anderen Dreiecken ist a² + b² größer oder kleiner als c². Dann hilft der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos(γ), der für γ = 90° wieder zum Pythagoras wird.
Wie prüfe ich, ob ein Winkel 90 Grad hat?
Miss alle drei Seiten und prüfe, ob die Quadrate der beiden kürzeren zusammen das Quadrat der längsten ergeben. In der Praxis hilft die 3-4-5-Regel: 3 m und 4 m abmessen, die Diagonale muss genau 5 m sein.
Wie berechnet man die Diagonale eines Rechtecks?
Die Diagonale ist die Hypotenuse des halben Rechtecks: d = √(Länge² + Breite²). Ein Zimmer von 4 m mal 3 m hat also eine Diagonale von √(16 + 9) = 5 m.
Was ist ein pythagoreisches Tripel?
Drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, etwa 3-4-5, 5-12-13 oder 8-15-17. Jedes Vielfache eines Tripels, etwa 6-8-10, ist ebenfalls eines.
In welcher Klasse lernt man den Satz des Pythagoras?
In der Regel in der Mittelstufe, meist um die 8. oder 9. Klasse. Der genaue Zeitpunkt hängt vom Lehrplan des Bundeslands und der Schulform ab.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
⭕ Kreisflächen-RechnerFläche, Umfang und Radius von Kreisen berechnen.
📦 VolumenrechnerRauminhalt von Quader, Zylinder, Kugel und mehr.
📈 Mitternachtsformel-RechnerQuadratische Gleichungen lösen – mit Graph und Rechenweg.
So rechnet unser Rechner: Hypotenuse c = √(a² + b²), Kathete b = √(c² − a²). Dazu kommen Fläche a · b ÷ 2, Umfang a + b + c, die Winkel über den Arkustangens (arctan(b ÷ a) und 90° minus diesen Wert) und die Höhe a · b ÷ c. Beim Prüfen werden die Seiten sortiert und a² + b² mit c² verglichen (relative Toleranz 0,0001 %). Gerechnet wird ungerundet, angezeigt mit bis zu vier Nachkommastellen, Winkel mit zwei.
Grundlage: allgemeine Regeln der Schulgeometrie, keine externen Daten; 1 Zoll = 2,54 cm · Stand: November 2026