Nullstellenrechner

Der Nullstellenrechner findet alle Stellen, an denen eine Funktion den Wert 0 annimmt – bei linearen und quadratischen Funktionen mit Rechenweg, bei Polynomen beliebigen Grades vollständig mit Vielfachheit und Linearfaktorzerlegung und bei allen anderen Funktionen numerisch in einem Bereich, den du selbst festlegst. Ein Graph markiert jede gefundene Nullstelle, sodass du das Ergebnis sofort mit dem Auge prüfen kannst.

So benutzt du den Nullstellenrechner

Glatte Ergebnisse zeigt der Rechner als ganze Zahl oder Bruch (etwa −5/2), krumme Werte mit vier Nachkommastellen. Mit dem Kopier-Symbol übernimmst du die Nullstellen, über „Teilen“ verschickst du die Aufgabe als Link, und „Drucken“ bringt Ergebnis, Graph und Rechenweg aufs Papier. Weitere Werkzeuge für Schule und Studium findest du bei den Matherechnern.

Die richtige Schreibweise im Nullstellenrechner

Nullstellen berechnen: die Formeln je Funktionstyp

Jede Nullstellenberechnung beginnt mit demselben Ansatz: Du setzt den Funktionsterm gleich null. Wie du danach weiterkommst, hängt vom Funktionstyp ab. Die folgende Tabelle zeigt, welche Methode wann am schnellsten ist.

Quadratische Funktionen: Mitternachtsformel oder pq-Formel

Für ax² + bx + c = 0 rechnet der Nullstellenrechner mit der Mitternachtsformel x = (−b ± √D) ÷ 2a und der Diskriminante D = b² − 4ac. Ist D positiv, aber keine Quadratzahl, und sind a, b und c ganze Zahlen, zeigt er zusätzlich die exakte Lösung mit Wurzel, etwa „x = 2 ± √3“. Bei D < 0 meldet er „keine reellen Nullstellen“ und nennt im Rechenweg die komplexen Lösungen.

Die pq-Formel liefert dieselben Werte, verlangt aber die Normalform x² + px + q = 0. Für x² − 4x + 1 ist p = −4 und q = 1, also x = 2 ± √(4 − 1) = 2 ± √3. Beide Wege im Detail erklären der Mitternachtsformel-Rechner und der pq-Formel-Rechner.

Polynome höheren Grades: raten und dividieren

Für Gleichungen ab Grad 3 gibt es in der Schule kein Formel-Rezept. Der Standardweg: Eine Nullstelle raten, dann durch (x − x₁) teilen und den Rest weiter zerlegen. Hat das Polynom ganzzahlige Koeffizienten und steht vor der höchsten Potenz eine 1, ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Absolutglieds. Bei x³ − 6x² + 11x − 6 kommen also nur ±1, ±2, ±3 und ±6 infrage. Genau diesen Tipp gibt auch der Rechenweg des Rechners. Die Division selbst führt dir der Polynomdivision-Rechner Schritt für Schritt vor.

Rechenbeispiele mit dem Nullstellenrechner

Vielfachheit: Schnittpunkt oder Berührpunkt?

Kommt ein Linearfaktor (x − x₀) mehrfach vor, spricht man von einer mehrfachen Nullstelle. Die Vielfachheit verrät, wie der Graph an dieser Stelle aussieht. Der Nullstellenrechner bestimmt sie bei Polynomen automatisch und schreibt sie in Klammern hinter die Nullstelle, zum Beispiel „x₂ (doppelt)“ oder „x₁ (3-fach)“.

Die Faustregel: Ungerade Vielfachheit = Vorzeichenwechsel, gerade Vielfachheit = kein Vorzeichenwechsel. Genau so beschriftet der Rechner jede Nullstelle. Eine doppelte Nullstelle ist immer auch ein Hoch- oder Tiefpunkt – wie du solche Punkte systematisch findest, zeigt der Kurvendiskussion-Rechner.

Wie findet der Nullstellenrechner wirklich alle Nullstellen?

Polynome: lückenlose Suche bis zur Cauchy-Schranke

Bei Polynomen nutzt der Rechner einen Satz von Augustin-Louis Cauchy: Alle reellen Nullstellen liegen zwischen −B und +B mit B = 1 + größter Betrag von aᵢ ÷ aₙ. Dabei ist aₙ der Koeffizient vor der höchsten Potenz, aᵢ sind alle übrigen. Für x³ − 6x² + 11x − 6 ist B = 1 + 11 = 12. Außerhalb von ±12 kann es keine Nullstelle geben.

Diesen Bereich zerlegt der Rechner in 20.000 kleine Abschnitte und prüft jeden auf einen Vorzeichenwechsel. Zusätzlich untersucht er die Nullstellen der Ableitung, denn dort liegen Berührpunkte ohne Vorzeichenwechsel. Danach bestimmt er die Vielfachheit über die Ableitungen und setzt bei vollständiger Zerlegung die Linearfaktoren zusammen. Was die Ableitung genau ist, erklärt der Ableitungsrechner.

Andere Funktionen: Vorzeichenwechsel und Bisektion

Bei Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- oder Winkelfunktionen sucht der Rechner im eingestellten Bereich nach Vorzeichenwechseln und halbiert das Intervall so lange, bis die Nullstelle sehr genau feststeht (Bisektionsverfahren). Polstellen wie bei 1/x erkennt er und zählt sie nicht als Nullstelle. Eine Grenze hat das Verfahren: Berührstellen ohne Vorzeichenwechsel findet die numerische Suche nicht immer – darauf weist der Rechenweg ausdrücklich hin.

Häufige Fehler beim Nullstellen berechnen

• ✅ Wurzel mit ±? x² = 9 hat zwei Lösungen: x = 3 und x = −3.
• ✅ Ausgeklammert statt geteilt? Wer durch x teilt, verliert die Nullstelle x = 0.
• ✅ Vorzeichen in der Diskriminante? (−4)² ist +16, und −4 · (−1) · (−20) ist −80.
• ✅ Nach der Substitution zurückgerechnet? Aus z = 4 werden bei z = x² die Nullstellen x = ±2.
• ✅ Definitionsbereich beachtet? ln(x) existiert nur für x > 0 – stell den Bereich zum Beispiel auf 0,1 bis 10.
• ✅ Probe gemacht? Setz jede Nullstelle in f(x) ein – es muss 0 herauskommen. Krumme Werte rundest du erst am Schluss.

Gleichungen, bei denen x im Exponenten steht und sonst nirgends, wie 2ˣ = 8, löst du am schnellsten mit dem Logarithmus-Rechner. Ganze Gleichungen mit beiden Seiten, etwa x² + 3 = 2x + 6, nimmt der CAS-Rechner direkt entgegen.

Häufige Fragen zum Nullstellenrechner

Wie berechnet man Nullstellen?

Du setzt die Funktion gleich null und löst nach x auf. Bei linearen Funktionen genügt Umstellen, bei quadratischen die Mitternachtsformel oder pq-Formel. Ab Grad 3 rätst du eine Nullstelle, machst eine Polynomdivision und löst den Rest.

Was ist eine Nullstelle?

Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Funktionswert null ist. Am Graphen ist es die Stelle, an der die Kurve die x-Achse schneidet oder berührt. Der zugehörige Punkt heißt Schnittpunkt mit der x-Achse, zum Beispiel N(2 | 0).

Wie viele Nullstellen kann eine Funktion haben?

Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen. Eine Parabel hat also null, eine oder zwei, eine Funktion 3. Grades eine bis drei. Winkelfunktionen wie sin(x) haben unendlich viele Nullstellen.

Was ist eine doppelte Nullstelle?

Eine doppelte Nullstelle entsteht, wenn ein Linearfaktor zweimal vorkommt, etwa bei (x − 3)². Der Graph berührt die x-Achse dort nur und wechselt nicht das Vorzeichen. Die Stelle ist zugleich ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Wie finde ich Nullstellen bei Funktionen 3. Grades?

Rate eine Nullstelle, meist unter den Teilern des Absolutglieds. Teile das Polynom durch (x − x₁) und löse die entstandene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel. Fehlt das Absolutglied, kannst du stattdessen x ausklammern.

Kann eine Funktion keine Nullstelle haben?

Ja. Die Parabel x² + 2x + 5 liegt komplett oberhalb der x-Achse, ihre Diskriminante ist −16. Auch eˣ hat keine Nullstelle, weil der Wert immer positiv ist. Der Rechner meldet dann „keine reellen Nullstellen“.

Was ist die Linearfaktorzerlegung?

Die Linearfaktorzerlegung schreibt ein Polynom als Produkt aus dem Leitkoeffizienten und Faktoren der Form (x − Nullstelle). Aus x³ − 6x² + 11x − 6 wird (x − 1)(x − 2)(x − 3). Der Rechner zeigt sie, sobald alle Nullstellen reell sind.

Findet der Nullstellenrechner auch Nullstellen von e-Funktionen und Sinus?

Ja, numerisch im Bereich, den du einstellst (Standard −10 bis 10). Er sucht Vorzeichenwechsel und grenzt die Nullstelle mit dem Bisektionsverfahren ein. Berührstellen ohne Vorzeichenwechsel kann diese Suche übersehen.

Was ist der Unterschied zwischen Nullstelle und Schnittpunkt mit der y-Achse?

An einer Nullstelle ist y = 0, du setzt also f(x) = 0. Den Schnittpunkt mit der y-Achse bekommst du dagegen mit x = 0, also durch Berechnen von f(0). Bei x³ − 6x² + 11x − 6 ist das der Punkt (0 | −6).

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