Kreuzprodukt-Rechner
Kreuzprodukt online berechnen: Vektorprodukt a × b mit Rechenweg, Parallelogramm- und Dreiecksfläche, Normalenvektor und Spatprodukt mit Volumen.
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- Stand: November 2026
Mit dem Kreuzprodukt-Rechner berechnest du das Vektorprodukt a × b zweier Vektoren im Raum – samt Rechenweg für jede Koordinate, Fläche des aufgespannten Parallelogramms und Dreiecks sowie Probe. Ein zweiter Reiter liefert das Spatprodukt und damit Volumen von Spat und Tetraeder. Ideal für Analytische Geometrie, Normalenvektoren und Physikaufgaben.
Kurz erklärt
Das Kreuzprodukt ist a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁) – ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht. Seine Länge ist die Fläche des Parallelogramms aus a und b, die Hälfte davon die Dreiecksfläche. Der Kreuzprodukt-Rechner liefert zum Beispiel (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6) = (−3 | 6 | −3).
So benutzt du den Kreuzprodukt-Rechner
Unter dem Vektor zeigt der Rechner drei Werte: „|a × b| = Fläche Parallelogramm“ und „Fläche Dreieck“ in Flächeneinheiten (FE) mit bis zu vier Nachkommastellen sowie die „Probe (a × b) · a“, die immer 0 ergeben muss. Der Rechenweg setzt deine Zahlen in die Formel für x, y und z ein und berechnet die Länge. Mit dem Kopier-Symbol übernimmst du das Ergebnis als „−3, 6, −3“. „Teilen“ erzeugt einen Link mit deinen Vektoren.
💡 Tipp: Die Vektorfelder erwarten Dezimalzahlen. Statt 1/2 tippst du 0,5. Im Rechenweg zeigt der Rechner einfache Brüche aber wieder als Bruch an – aus 0,5 wird dort „1/2“.
Kreuzprodukt berechnen: Formel und Merkhilfe
|a × b| = |a| · |b| · sin θ
Eine bewährte Merkhilfe: Schreib beide Vektoren untereinander und die ersten beiden Zeilen noch einmal darunter. Für die x-Koordinate deckst du die erste Zeile ab und rechnest „über Kreuz“: a₂·b₃ minus a₃·b₂. Für y und z rutschst du jeweils eine Zeile weiter. Die Indizes folgen immer dem Kreislauf 2-3, 3-1, 1-2.
Alternativ lässt sich das Kreuzprodukt als Determinante schreiben, mit den Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃ in der ersten Zeile und a und b darunter. Entwickelst du sie nach der ersten Zeile, entstehen genau die drei Komponenten. Wie Determinanten funktionieren, zeigt die Seite Determinante berechnen.
Richtung des Kreuzprodukts: die Rechte-Hand-Regel
Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung a und der Zeigefinger in Richtung b, dann zeigt der abgespreizte Mittelfinger in Richtung a × b. Vertauschst du a und b, kehrt sich die Richtung um: (4 | 5 | 6) × (1 | 2 | 3) = (3 | −6 | 3). Die Länge bleibt gleich.
„Das Kreuzprodukt multipliziert die Koordinaten einzeln: (1·4 | 2·5 | 3·6).“ – „Das Kreuzprodukt ist eine Zahl.“
Jede Koordinate entsteht „über Kreuz“ aus den beiden anderen Koordinaten. Das Ergebnis ist ein Vektor – eine Zahl liefert das Skalarprodukt.
Rechenbeispiele mit dem Kreuzprodukt-Rechner
🧮 Beispiel 1: Die Voreinstellung (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6)
a = (1 | 2 | 3), b = (4 | 5 | 6).
- x: 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
- y: 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
- z: 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3
- |a × b| = √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 = 7,3485
Ergebnis: a × b = (−3 | 6 | −3), Parallelogramm 7,3485 FE, Dreieck 3,6742 FE, Probe 0. Kontrolle über die Winkel-Formel: |a| = 3,7417, |b| = 8,775, θ = 12,93° – das Produkt |a| · |b| · sin θ ergibt wieder 7,3485.
🧮 Beispiel 2: Dreiecksfläche und Ebenengleichung aus drei Punkten
Ein Dreieck hat die Ecken A(1 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0) und C(0 | 0 | 3). Gesucht sind Fläche und Normalenvektor.
- Kantenvektoren: AB = B − A = (−1 | 2 | 0), AC = C − A = (−1 | 0 | 3)
- Eingabe als a und b: AB × AC = (2·3 − 0·0 | 0·(−1) − (−1)·3 | (−1)·0 − 2·(−1)) = (6 | 3 | 2)
- |AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7
- Ebene: 6x + 3y + 2z = d, mit A eingesetzt d = 6
Ergebnis: Normalenvektor (6 | 3 | 2), Dreiecksfläche 3,5 FE, Ebene 6x + 3y + 2z = 6. Probe mit B: 3·2 = 6 ✓, mit C: 2·3 = 6 ✓
🧮 Beispiel 3: Drehmoment am Schraubenschlüssel
Ein Schraubenschlüssel zeigt 0,5 m in y-Richtung, die Hand drückt mit 10 N in x-Richtung. Das Drehmoment ist M = r × F.
- a = r = (0 | 0,5 | 0), b = F = (10 | 0 | 0)
- x: 0,5·0 − 0·0 = 0 (im Rechenweg als „1/2·0 − 0·0 = 0“)
- y: 0·10 − 0·0 = 0
- z: 0·0 − 0,5·10 = −5
Ergebnis: M = (0 | 0 | −5), Betrag 5 N·m. Der Rechner nennt den Betrag „Fläche Parallelogramm“ mit „5 FE“ – die Einheit ergibt sich hier aus der Aufgabe. Das Minus zeigt die Drehachse in negative z-Richtung.
🧮 Beispiel 4: Ebene Vektoren und parallele Vektoren
Erst zwei Vektoren in der Ebene: a = (3 | 0 | 0), b = (1 | 2 | 0). Dann a = (1 | 2 | 3) und b = (2 | 4 | 6).
- Ebene Vektoren: a × b = (0 | 0 | 3·2 − 0·1) = (0 | 0 | 6)
- Parallelogramm 6 FE, Dreieck 3 FE
- Parallele Vektoren: b = 2·a, alle drei Komponenten werden 0
Ergebnis: Im ersten Fall (0 | 0 | 6) mit 6 FE. Im zweiten Fall der Nullvektor (0 | 0 | 0) mit Fläche 0 FE – parallele Vektoren spannen keine Fläche auf.
⚠️ Achtung: Kommt der Nullvektor heraus, meldet der Rechner „a und b sind parallel“. Dann gibt es keine eindeutige senkrechte Richtung – parallele Vektoren spannen keine Ebene auf.
Spatprodukt: Volumen mit dem Kreuzprodukt-Rechner
Im Reiter „Spatprodukt“ gibst du drei Vektoren a, b und c ein. Der Rechner bildet zuerst a × b und dann das Skalarprodukt mit c. Der Betrag des Ergebnisses ist das Volumen des Spats (eines schiefen Quaders), ein Sechstel davon das Volumen des Tetraeders aus denselben Vektoren. Das Spatprodukt ist gleich der Determinante der Matrix aus a, b und c.
🧮 Beispiel 5: Spatprodukt der Voreinstellung
a = (1 | 0 | 0), b = (1 | 2 | 0), c = (1 | 1 | 3).
- a × b = (0·0 − 0·2 | 0·1 − 1·0 | 1·2 − 0·1) = (0 | 0 | 2)
- (a × b) · c = 0·1 + 0·1 + 2·3 = 6
Ergebnis: (a × b) · c = 6, „Volumen des Spats: 6 VE“, Tetraeder 1 VE. Ist das Spatprodukt 0, meldet der Rechner „Vektoren liegen in einer Ebene (komplanar)“.
Tabelle: Kreuzprodukte der Einheitsvektoren
Mit dieser Tabelle prüfst du schnell Vorzeichen und Richtung. Sie folgt dem Kreislauf x → y → z → x: In dieser Reihenfolge ist das Ergebnis positiv, rückwärts negativ.
| a | b | a × b | Fläche |
|---|---|---|---|
| (1 | 0 | 0) | (0 | 1 | 0) | (0 | 0 | 1) | 1 FE |
| (0 | 1 | 0) | (0 | 0 | 1) | (1 | 0 | 0) | 1 FE |
| (0 | 0 | 1) | (1 | 0 | 0) | (0 | 1 | 0) | 1 FE |
| (0 | 1 | 0) | (1 | 0 | 0) | (0 | 0 | −1) | 1 FE |
| (1 | 0 | 0) | (1 | 0 | 0) | (0 | 0 | 0) | 0 FE |
Tabelle: Kreuzprodukt, Skalarprodukt und Spatprodukt
| Produkt | Ergebnis | Ist 0, wenn … | Typische Anwendung |
|---|---|---|---|
| Kreuzprodukt a × b | Vektor | a und b parallel | Normalenvektor, Fläche, Drehmoment |
| Skalarprodukt a · b | Zahl | a und b senkrecht | Winkel, Projektion, Arbeit |
| Spatprodukt (a × b) · c | Zahl | a, b, c in einer Ebene | Volumen, Komplanarität |
Den Winkel zwischen zwei Vektoren, die Orthogonalität und die Projektion berechnet der Skalarprodukt-Rechner – er steckt im Reiter „Skalarprodukt & Winkel“ desselben Rechners.
Eigenschaften des Kreuzprodukts
Fläche bei |a| = |b| = 1 je nach Winkel (sin θ)
Die Fläche ist am größten, wenn a und b senkrecht aufeinander stehen, und 0, wenn sie parallel sind. Weitere Regeln:
- ✅ Antikommutativ: b × a = −(a × b).
- ✅ Selbst-Kreuzprodukt: a × a = 0 für jeden Vektor.
- ✅ Distributiv: a × (b + c) = a × b + a × c.
- ✅ Nicht assoziativ: (a × b) × c ist im Allgemeinen nicht a × (b × c).
- ✅ Nur im Raum: Das Kreuzprodukt ist für dreidimensionale Vektoren definiert; ebene Vektoren ergänzt du mit z = 0.
🤓 Wusstest du? In der Physik steckt das Kreuzprodukt hinter vielen Kräften und Drehungen: Drehmoment M = r × F, Drehimpuls L = r × p und die Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld, F = q · (v × B). Deshalb lernen viele Studierende die Rechte-Hand-Regel zuerst im Physikunterricht.
Häufige Fehler beim Kreuzprodukt
- ✅ Mittlere Komponente: Sie lautet a₃b₁ − a₁b₃. Wer a₁b₃ − a₃b₁ rechnet, bekommt das falsche Vorzeichen.
- ✅ Reihenfolge: a × b und b × a zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
- ✅ Klammern beim Quadrieren: (−3)² = 9, nicht −9.
- ✅ Dreieck halbieren: Die Länge von a × b ist die Parallelogrammfläche, das Dreieck hat die Hälfte.
- ✅ Kantenvektoren bilden: Bei Punkten erst Verbindungsvektoren vom selben Startpunkt berechnen, dann kreuzen.
Häufige Fragen zum Kreuzprodukt-Rechner
Wie berechnet man das Kreuzprodukt?
Mit der Formel a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁). Jede Koordinate entsteht über Kreuz aus den beiden anderen Koordinaten. Für (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6) ergibt das (−3 | 6 | −3).
Was gibt das Kreuzprodukt an?
Es liefert einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Seine Länge entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Darum nutzt man es für Normalenvektoren und Flächenberechnungen.
Wie berechne ich mit dem Kreuzprodukt eine Dreiecksfläche?
Bilde zwei Kantenvektoren vom selben Eckpunkt aus, berechne ihr Kreuzprodukt und nimm die Hälfte seiner Länge. Für A(1 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0), C(0 | 0 | 3) ergibt das 7 ÷ 2 = 3,5 Flächeneinheiten.
Was ist der Unterschied zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt?
Das Kreuzprodukt ergibt einen Vektor und ist 0, wenn die Vektoren parallel sind. Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl und ist 0, wenn die Vektoren senkrecht stehen. Mit dem Skalarprodukt berechnest du Winkel, mit dem Kreuzprodukt Flächen und Normalen.
Ist das Kreuzprodukt kommutativ?
Nein, es ist antikommutativ: b × a = −(a × b). Der Vektor hat dieselbe Länge, zeigt aber in die Gegenrichtung.
Was bedeutet es, wenn das Kreuzprodukt der Nullvektor ist?
Dann sind die beiden Vektoren parallel oder antiparallel, oder einer von ihnen ist der Nullvektor. Sie spannen keine Fläche auf, die Parallelogrammfläche ist 0.
Kann man das Kreuzprodukt von 2D-Vektoren berechnen?
Streng genommen ist es nur im Raum definiert. Ergänze ebene Vektoren mit z = 0: Das Ergebnis hat dann nur eine z-Komponente, deren Betrag die Parallelogrammfläche ist – bei (3 | 0) und (1 | 2) sind das 6.
Wie berechnet man das Spatprodukt?
Bilde zuerst a × b und multipliziere das Ergebnis per Skalarprodukt mit c. Der Betrag ist das Volumen des Spats. Im Rechner wählst du dafür den Reiter „Spatprodukt“; er zeigt auch das Tetraedervolumen.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
🔢 MatrizenrechnerMatrix mal Vektor, Transponieren und mehr.
🔲 Determinante berechnenSarrus und Gauß – auch fürs Spatprodukt.
📏 Trigonometrie-RechnerSinus, Kosinus und Winkel im Dreieck.
Die Länge eines Vektors in der Ebene ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras; Wurzeln ziehst du mit dem Wurzelrechner. Gleichungssysteme für Schnittpunkte von Geraden und Ebenen löst der LGS-Rechner. Alle Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
So rechnet unser Rechner: Das Kreuzprodukt wird komponentenweise nach a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁) berechnet, die Länge als Wurzel der Quadratsumme. Flächen werden auf vier Nachkommastellen gerundet, Koordinaten als ganze Zahl, einfacher Bruch (Nenner bis 12) oder mit vier Nachkommastellen angezeigt. Das Spatprodukt ist (a × b) · c, das Tetraedervolumen ein Sechstel seines Betrags. Gerechnet wird mit Gleitkommazahlen im Browser. Alle Beispiele in diesem Text wurden nachgerechnet. Stand: November 2026