Differentialgleichung-Rechner

DGL lösen: lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit Anfangswerten und Rechenweg, dazu beliebige DGL 1. Ordnung numerisch mit Runge-Kutta und Euler.

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Stand: November 2026

Der Differentialgleichung-Rechner löst drei typische Arten von Differentialgleichungen (DGL): lineare homogene DGL 2. Ordnung wie y″ + 3y′ + 2y = 0 über die charakteristische Gleichung, lineare DGL 1. Ordnung wie y′ = −0,5y + 10 mit fertiger Lösungsformel und beliebige DGL 1. Ordnung numerisch mit dem Runge-Kutta-Verfahren im Vergleich zum Euler-Verfahren. Mit Anfangswerten bekommst du die konkrete Lösung samt Graph.

Kurz erklärt

Eine Differentialgleichung verknüpft eine gesuchte Funktion y(x) mit ihren Ableitungen. Bei a·y″ + b·y′ + c·y = 0 setzt du y = e^λx an und löst die charakteristische Gleichung aλ² + bλ + c = 0. Beispiel: y″ + 3y′ + 2y = 0 ergibt λ = −2 und λ = −1, also y(x) = C₁·e^−2x + C₂·e^−x.

2. Ordnungaλ² + bλ + c = 0charakteristische Gleichung

1. Ordnungy* = −b ÷ aGleichgewicht von y′ = ay + b

NumerischRunge-Kutta 4mit Euler zum Vergleich

Anfangswertey(0), y′(0)machen die Lösung eindeutig

So benutzt du den Differentialgleichung-Rechner

1Reiter wählen„y″ + y′ + y (konstant)“ für 2. Ordnung, „y′ = a·y + b“ für 1. Ordnung oder „y′ = f(x, y) numerisch“ für alles andere.

2Koeffizienten eintragen2. Ordnung: a, b, c aus a·y″ + b·y′ + c·y = 0 (a ≠ 0). 1. Ordnung: a, b und y(0).

3Anfangswerte (optional)Mit y(0) und y′(0) wird aus der allgemeinen Lösung die Lösung des Anfangswertproblems – plus Graph von x = 0 bis 10.

4Numerisch rechnenRechte Seite f(x, y) eingeben, dazu x₀, y(x₀), „bis x“ und die Zahl der Schritte (2 bis 2.000).

Im ersten Reiter zeigt der Rechner die Lösung, den Typ (Kriechfall, aperiodischer Grenzfall oder Schwingfall) und den Rechenweg mit Diskriminante und λ-Werten. Im zweiten Reiter kommen Gleichgewicht, Halbwertszeit oder Verdopplungszeit sowie y(1) und y(5) dazu. Der numerische Reiter liefert y am Ende des Intervalls, den Euler-Vergleichswert, eine Wertetabelle und beide Kurven im Graphen. Mit „Teilen“ verschickst du deine Eingaben als Link, mit „Drucken“ alles auf Papier. Mehr Analysis-Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.

Differentialgleichung 2. Ordnung: die charakteristische Gleichung

Ansatz y = e^λxa·y″ + b·y′ + c·y = 0 → aλ² + bλ + c = 0 → D = b² − 4ac

Setzt du y = e^λx ein, wird y′ = λe^λx und y″ = λ²e^λx. Weil e^λx nie null ist, bleibt eine ganz normale quadratische Gleichung für λ übrig. Ihre Diskriminante entscheidet über die Form der Lösung – wie bei der Mitternachtsformel:

Diskriminante	λ	allgemeine Lösung	Typ im Rechner
D > 0	λ₁ ≠ λ₂ reell	C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x	Kriechfall (aperiodisch)
D = 0	λ doppelt	(C₁ + C₂x)e^λx	aperiodischer Grenzfall
D < 0	α ± βi komplex	e^αx(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))	Schwingfall
D < 0, b = 0	±βi	C₁cos(βx) + C₂sin(βx)	ungedämpfte Schwingung

Physikalisch beschreibt die Gleichung zum Beispiel einen gedämpften Federschwinger: m·y″ + d·y′ + k·y = 0 mit Masse m, Dämpfung d und Federkonstante k. Starke Dämpfung (D > 0) lässt die Masse ohne Überschwingen zurückkriechen, schwache Dämpfung (D < 0) lässt sie mit abnehmender Amplitude schwingen. Der Grenzfall D = 0 liegt genau dazwischen: Er bringt das System am schnellsten zur Ruhe, ohne dass es überschwingt.

Anfangswertproblem: Differentialgleichung mit Startwerten

Die allgemeine Lösung enthält zwei freie Konstanten. Erst zwei Bedingungen machen sie eindeutig – meist der Startwert y(0) und die Startsteigung y′(0). Im Kriechfall gilt C₁ + C₂ = y(0) und λ₁C₁ + λ₂C₂ = y′(0); der Rechner löst dieses kleine Gleichungssystem und nennt C₁ und C₂ im Rechenweg.

Rechenbeispiele mit dem Differentialgleichung-Rechner

🧮 Beispiel 1: Kriechfall y″ + 3y′ + 2y = 0 mit y(0) = 1, y′(0) = 0

λ² + 3λ + 2 = 0 → D = 9 − 8 = 1 → λ₁ = −2, λ₂ = −1
C₁ + C₂ = 1 und −2C₁ − C₂ = 0 → C₁ = −1, C₂ = 2

Ergebnis: y(x) = −e^−2x + 2·e^−x, Typ „Kriechfall (aperiodisch), abklingend“. Probe: y(0) = −1 + 2 = 1 ✓, y′(0) = 2 − 2 = 0 ✓. Bei x = 1 ist y ≈ 0,6004.

🧮 Beispiel 2: Gedämpfte Schwingung y″ + 2y′ + 5y = 0 mit y(0) = 1, y′(0) = 0

λ² + 2λ + 5 = 0 → D = 4 − 20 = −16 → λ = −1 ± 2i
C₁ = y(0) = 1, C₂ = (y′(0) − α · y(0)) ÷ β = (0 + 1) ÷ 2 = 0,5

Ergebnis: y(x) = e^−x·(cos(2x) + 0,5·sin(2x)), Typ „Schwingfall, abklingend“. Der Graph schwingt mit der Kreisfrequenz 2 und schrumpft mit e^−x: Bei x = π/2 ≈ 1,5708 ist y ≈ −0,2079.

🧮 Beispiel 3: Grenzfall y″ + 4y′ + 4y = 0 mit y(0) = 1, y′(0) = 0

λ² + 4λ + 4 = (λ + 2)² = 0 → D = 0, doppelte Lösung λ = −2
C₁ = 1, C₂ = y′(0) − λ · y(0) = 0 + 2 = 2

Ergebnis: y(x) = (1 + 2·x)·e^−2x, Typ „aperiodischer Grenzfall, abklingend“. Bei x = 1 ist y = 3e⁻² ≈ 0,4060 – deutlich weniger als im Kriechfall aus Beispiel 1.

🧮 Beispiel 4: Der Kaffee kühlt ab (1. Ordnung)

Jonas’ Kaffee hat 90 °C, das Zimmer 20 °C. Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz gilt T′ = −0,1 · (T − 20) = −0,1T + 2 (t in Minuten, k = 0,1 ist hier angenommen). Im Reiter „y′ = a·y + b“: a = −0,1, b = 2, y(0) = 90.

Gleichgewicht: y* = −b ÷ a = −2 ÷ (−0,1) = 20
Lösung: y(t) = 20 + (90 − 20)·e^−0,1t

Ergebnis: y(x) = 20 + 70·e^−0,1x, „nähert sich dem Gleichgewicht 20“. Halbwertszeit des Abstands: 6,9315 Minuten, y(1) = 83,3386 °C, y(5) = 62,4571 °C.

Kaffeetemperatur aus Beispiel 4 (Raum 20 °C)

Start90,00 °C

nach 5 min62,46 °C

nach 10 min45,75 °C

nach 20 min29,47 °C

nach 30 min23,49 °C

nach 60 min20,17 °C

🧮 Beispiel 5: Numerisch y′ = x − y mit y(0) = 1 bis x = 3

Im Reiter „y′ = f(x, y) numerisch“ mit den Voreinstellungen: f(x, y) = x – y, x₀ = 0, y(x₀) = 1, bis x = 3, 30 Schritte.

Schrittweite h = (3 − 0) ÷ 30 = 0,1
Runge-Kutta 4 und Euler laufen parallel über alle 30 Schritte
Zum Vergleich die exakte Lösung: y = x − 1 + 2e^−x, also y(3) = 2 + 2e⁻³ ≈ 2,099574

Ergebnis: „y(3) ≈ 2,099574“ mit Runge-Kutta 4 – auf sechs Nachkommastellen exakt. Das Euler-Verfahren liefert 2,084782 und liegt damit um rund 0,0148 daneben.

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung: Wachstum und Zerfall

Die Gleichung y′ = a·y + b beschreibt alles, was sich proportional zum Abstand von einem Gleichgewicht verändert. Ihre Lösung ist immer y(x) = y* + (y(0) − y*)·e^a·x mit dem Gleichgewicht y* = −b ÷ a. Ist a negativ, nähert sich y dem Gleichgewicht, ist a positiv, wächst der Abstand exponentiell. Für a = 0 ist y′ = b konstant, und die Lösung ist eine Gerade.

Der Rechner nennt bei a < 0 die Halbwertszeit des Abstands ln(2) ÷ |a| – nach dieser Zeit hat sich der Abstand zum Gleichgewicht halbiert. Bei a > 0 heißt derselbe Wert Verdopplungszeit. Typische Anwendungen:

Abkühlung und Erwärmung: Temperatur nähert sich der Umgebung (Beispiel 4).
Abbau eines Stoffes: y′ = −k·y mit b = 0 – so modelliert der Koffein-Abbau-Rechner den Rückgang über die Halbwertszeit.
Stetiges Wachstum: y′ = r·y beschreibt etwa stetige Verzinsung; den Vergleich mit jährlichen Zinsen zeigt der Zinseszinsrechner.
Kondensator aufladen: Die Spannung nähert sich der Quellspannung nach demselben Muster.

Willst du aus einer gemessenen Halbwertszeit die Konstante a zurückrechnen, gilt a = −ln(2) ÷ T½. Den Logarithmus dafür liefert der Logarithmus-Rechner.

✗ Falsch

„y′ = 2y, also ist y = 2x.“ Hier wurde die Ableitung mit der Funktion verwechselt – (2x)′ = 2 ist nicht 2 · 2x.

✓ Richtig

Gesucht ist eine Funktion, deren Ableitung doppelt so groß ist wie sie selbst: y = C·e^2x. Probe: y′ = 2C·e^2x = 2y ✓

Euler oder Runge-Kutta? Differentialgleichungen numerisch lösen

Viele Differentialgleichungen lassen sich nicht mit einer Formel lösen. Dann rechnet man in kleinen Schritten der Länge h vorwärts. Das Euler-Verfahren nimmt die Steigung am Anfang des Schritts: yₙ₊₁ = yₙ + h · f(xₙ, yₙ). Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4) berechnet je Schritt vier Steigungen k₁ bis k₄ – am Anfang, zweimal in der Mitte und am Ende – und mittelt sie gewichtet: yₙ₊₁ = yₙ + h/6 · (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄).

4Steigungen pro Schritt nutzt Runge-Kutta. Der Aufwand ist viermal so groß wie bei Euler, die Genauigkeit aber um Größenordnungen besser: Halbierst du h, schrumpft der Fehler bei RK4 etwa auf ein Sechzehntel, bei Euler nur auf die Hälfte.

Wie groß der Unterschied ist, zeigt die DGL y′ = x − y mit y(0) = 1 bei x = 3. Der exakte Wert ist 2,099574:

Schritte	h	Runge-Kutta 4	Euler	Fehler Euler
3	1	2,105469	2	0,099574
10	0,3	2,0996	2,056495	0,043079
30	0,1	2,099574	2,084782	0,014792
100	0,03	2,099574	2,095105	0,004469

Schon mit 10 Schritten trifft RK4 den exakten Wert auf vier Nachkommastellen, Euler braucht für eine ähnliche Genauigkeit sehr viel mehr Schritte. Die Stammfunktionen, die hinter exakten Lösungen stecken, berechnet der Stammfunktion-Rechner.

🤓 Wusstest du? Mit y′ = y, y(0) = 1 und 10 Schritten bis x = 1 berechnet der Rechner die Eulersche Zahl: Runge-Kutta liefert 2,71828, das Euler-Verfahren nur 2,593742 – das ist genau 1,1¹⁰. Das Verfahren selbst geht auf Leonhard Euler im 18. Jahrhundert zurück, Runge-Kutta auf Carl Runge (1895) und Wilhelm Kutta (1901).

Häufige Fehler bei Differentialgleichungen

✅ Gleichung richtig sortiert? Für den ersten Reiter muss rechts 0 stehen: y″ = −4y wird zu y″ + 4y = 0 (a = 1, b = 0, c = 4).
✅ Vorzeichen mitgenommen? y″ − 3y′ + 2y = 0 hat b = −3, nicht 3.
✅ Beide Anfangswerte gesetzt? Bei 2. Ordnung braucht die konkrete Lösung y(0) und y′(0).
✅ Komplexe λ richtig gedeutet? Aus λ = α ± βi werden e^αx, cos(βx) und sin(βx) – im Ergebnis steht kein i.
✅ Genug Schritte? Rechne numerisch zur Kontrolle mit doppelter Schrittzahl. Ändert sich das Ergebnis kaum, passt es.
✅ Probe gemacht? Lösung zweimal ableiten und einsetzen – der Ableitungsrechner hilft dabei.

⚠️ Achtung: Der erste Reiter löst nur homogene Gleichungen 2. Ordnung (rechte Seite 0) mit konstanten Koeffizienten. Steht rechts eine Störfunktion wie sin(x) oder eine Zahl, brauchst du zusätzlich eine partikuläre Lösung. Der numerische Reiter rechnet nur Gleichungen 1. Ordnung der Form y′ = f(x, y).

Häufige Fragen zum Differentialgleichung-Rechner

Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion zusammen mit ihren Ableitungen vorkommt. Gesucht ist also keine Zahl, sondern eine ganze Funktion. Beispiel: y′ = y hat die Lösungen y = C · eˣ.

Wie löst man eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung?

Bei konstanten Koeffizienten setzt du y = e^λx an und löst die charakteristische Gleichung aλ² + bλ + c = 0. Je nach Diskriminante ergibt sich eine Summe zweier e-Funktionen, eine e-Funktion mit Faktor (C₁ + C₂x) oder eine gedämpfte Schwingung.

Was ist ein Anfangswertproblem?

Ein Anfangswertproblem ist eine Differentialgleichung plus Startbedingungen, etwa y(0) = 1 und y′(0) = 0. Sie legen die freien Konstanten der allgemeinen Lösung fest. Eine DGL n-ter Ordnung braucht n Anfangswerte.

Was ist der Unterschied zwischen Kriechfall, Grenzfall und Schwingfall?

Im Kriechfall (D > 0) kehrt das System langsam ohne Schwingung zurück. Im aperiodischen Grenzfall (D = 0) geschieht das am schnellsten ohne Überschwingen. Im Schwingfall (D < 0) schwingt es mit abnehmender oder zunehmender Amplitude.

Was ist das Runge-Kutta-Verfahren?

Runge-Kutta 4 ist ein numerisches Verfahren für Differentialgleichungen. Es berechnet je Schritt vier Steigungen und mittelt sie gewichtet. Es ist deutlich genauer als das Euler-Verfahren und gilt als Standardverfahren für viele Anwendungen.

Warum ist das Euler-Verfahren ungenau?

Euler nimmt nur die Steigung am Anfang jedes Schritts und tut so, als bliebe sie konstant. Bei gekrümmten Lösungen sammelt sich dieser Fehler Schritt für Schritt an. Halbierst du die Schrittweite, halbiert sich der Fehler nur ungefähr.

Kann der Rechner auch inhomogene Differentialgleichungen lösen?

Für die 1. Ordnung ja: y′ = a·y + b mit konstantem b ist inhomogen und wird exakt gelöst. Beliebige rechte Seiten f(x, y) löst der numerische Reiter. Inhomogene Gleichungen 2. Ordnung mit Störfunktion löst der Rechner nicht.

Was bedeutet die Halbwertszeit bei y′ = a·y + b?

Sie gibt an, nach welcher Zeit sich der Abstand zum Gleichgewicht y* = −b ÷ a halbiert hat. Sie beträgt ln(2) ÷ |a|. Bei a = −0,1 sind das rund 6,93 Zeiteinheiten.

Passende Rechner: So rechnest du weiter

✏️ AbleitungsrechnerLösungen ableiten und die Probe machen.
∫ IntegralrechnerBestimmte Integrale und Flächen berechnen.
☕ Koffein-Abbau-RechnerExponentieller Abbau über die Halbwertszeit.
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So rechnet unser Rechner: 2. Ordnung: charakteristische Gleichung aλ² + bλ + c = 0, Fallunterscheidung über D = b² − 4ac, Konstanten C₁ und C₂ aus y(0) und y′(0). 1. Ordnung: y(x) = y* + (y(0) − y*)·e^ax mit y* = −b ÷ a, Halbwertszeit bzw. Verdopplungszeit ln(2) ÷ |a|. Numerisch: klassisches Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung und explizites Euler-Verfahren mit gleicher Schrittweite h = (x_Ende − x₀) ÷ Schritte. Die rechte Seite f(x, y) wertet die freie Bibliothek nerdamer (MIT-Lizenz, liegt auf netzblogr.de selbst) aus. Alles läuft in deinem Browser.

Grundlage: allgemeine Regeln der Analysis und Numerik · Stand: November 2026