Partielle Ableitung: Rechner
Partielle Ableitungen online berechnen: nach x, y oder z ableiten, Gradient und Hesse-Matrix ablesen und Hoch-, Tief- und Sattelpunkte verstehen.
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- Stand: November 2026
Mit diesem Rechner für die partielle Ableitung leitest du Funktionen mit mehreren Variablen ab – etwa f(x, y) = x² · y oder f(x, y, z) = x · y · z + z². Du wählst, nach welcher Variablen abgeleitet wird, und bekommst zusätzlich den kompletten Gradienten und bei bis zu drei Variablen die Hesse-Matrix mit allen zweiten Ableitungen. Alles wird sofort beim Tippen in deinem Browser berechnet.
Kurz erklärt
Bei der partiellen Ableitung leitest du nach einer Variablen ab und behandelst alle anderen wie feste Zahlen. Beispiel: f(x, y) = x² · y ergibt ∂f/∂x = 2x · y und ∂f/∂y = x². Der Rechner zeigt die gewünschte Ableitung, den Gradienten und die Hesse-Matrix.
So nutzt du den Rechner für die partielle Ableitung
x^2*y^3. Voreingestellt ist x^2*y + sin(x*y). Schreibe zwischen Variablen ein *, also x*y.Unter dem Ergebnis nennt der Rechner, welche Variablen er wie Konstanten behandelt hat, zum Beispiel „alle anderen Variablen (y) werden wie Konstanten behandelt“. Die Variablen erkennt er selbst. Hat deine Funktion vier oder mehr Variablen, zeigt er den Gradienten, aber keine Hesse-Matrix. Mit „Teilen“ verschickst du einen Link mit deiner Eingabe. Mehr Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
Partielle Ableitung berechnen: die Regel
y bleibt dabei fest
Die Formel ist dieselbe wie bei einer Funktion mit nur einer Variablen. Der einzige Unterschied: Du veränderst nur x und hältst y fest. Deshalb gelten auch alle bekannten Regeln weiter – Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Ein y im Term verhält sich beim Ableiten nach x genau wie eine Zahl, etwa wie eine 5.
Anschaulich schneidest du die Fläche z = f(x, y) mit einer Ebene, in der y konstant ist. Übrig bleibt eine ganz normale Kurve, und ∂f/∂x ist ihre Steigung. ∂f/∂y ist entsprechend die Steigung in y-Richtung.
„∂/∂x von x² · y ist 2x · y + x², weil man mit der Produktregel auch y ableiten muss.“
y ist beim Ableiten nach x eine Konstante, also ein Faktor wie 5. Es gilt die Faktorregel: ∂/∂x (x² · y) = 2x · y.
Beispiele zur partiellen Ableitung
🧮 Beispiel 1: Die Voreinstellung x² · y + sin(x · y)
Aus dem Übungsblatt im ersten Semester: Leite f(x, y) = x² · y + sin(x · y) nach x und nach y ab.
- Nach x: (x² · y) → 2x · y; sin(x · y) → cos(x · y) · y (Kettenregel, innere Ableitung y)
- Nach y: (x² · y) → x²; sin(x · y) → cos(x · y) · x
- Gemischt: ∂/∂y von ∂f/∂x ergibt −sin(x · y) · x · y + cos(x · y) + 2x
Ergebnis: ∂f/∂x = 2x · y + cos(x · y) · y, ∂f/∂y = cos(x · y) · x + x². In der Hesse-Matrix stehen die beiden gemischten Ableitungen gleich – nur die Faktoren sind anders sortiert.
🧮 Beispiel 2: Zylindervolumen – was wirkt stärker?
Eine Dose hat r = 3 cm und h = 10 cm. Ihr Volumen ist V = π · r² · h ≈ 282,7 cm³. Was verändert das Volumen mehr: 1 cm mehr Radius oder 1 cm mehr Höhe? Eingabe: pi*r^2*h, ableiten nach r.
- ∂V/∂r = 2π · r · h = 2π · 3 · 10 ≈ 188,5 cm³ je cm Radius
- ∂V/∂h = π · r² = π · 9 ≈ 28,3 cm³ je cm Höhe
- Kleine Änderung: Radius +0,1 cm → ΔV ≈ 188,5 · 0,1 ≈ 18,8 cm³ (exakt sind es 19,2 cm³)
Ergebnis: Der Radius wirkt hier gut sechsmal so stark wie die Höhe. Der Rechner zeigt ∂f/∂r = 2r · h · π und im Gradienten ∂f/∂h = π · r². Volumen vieler Körper berechnet der Volumenrechner.
🧮 Beispiel 3: Tiefpunkt einer Fläche finden
Wo hat f(x, y) = x² + y² − 4x + 2y ihren tiefsten Punkt? Eingabe: x^2+y^2-4x+2y.
- Gradient laut Rechner: ∂f/∂x = 2x − 4 und ∂f/∂y = 2y + 2
- Beide null setzen: x = 2 und y = −1
- Hesse-Matrix: fₓₓ = 2, fᵧᵧ = 2, fₓᵧ = 0 → Determinante 2 · 2 − 0 = 4 > 0, fₓₓ > 0
- Funktionswert: f(2, −1) = 4 + 1 − 8 − 2 = −5
Ergebnis: Tiefpunkt bei (2 | −1) mit f = −5. Das Nullsetzen machst du von Hand – der Rechner liefert dir Gradient und Hesse-Matrix dafür. Entstehen dabei mehrere lineare Gleichungen, löst sie der LGS-Rechner.
🧮 Beispiel 4: Sattelpunkt bei x² + 3xy + y²
Nicht jeder Punkt mit Gradient null ist ein Extremum. Eingabe: x^2 + 3x*y + y^2.
- Gradient: ∂f/∂x = 2x + 3y, ∂f/∂y = 3x + 2y → beide null nur bei (0 | 0)
- Hesse-Matrix laut Rechner: oben 2 und 3, unten 3 und 2
- Determinante: 2 · 2 − 3 · 3 = −5 < 0
Ergebnis: Bei (0 | 0) liegt ein Sattelpunkt – in einer Richtung steigt die Fläche, in einer anderen fällt sie. Determinanten größerer Matrizen berechnest du mit Determinante berechnen.
🧮 Beispiel 5: Drei Variablen
f(x, y, z) = x · y · z + z², abgeleitet nach z. Eingabe: x*y*z + z^2, ableiten nach z.
- x und y sind Konstanten: ∂/∂z (x · y · z) = x · y
- ∂/∂z (z²) = 2z
- Gradient komplett: (y · z, x · z, x · y + 2z)
Ergebnis: ∂f/∂z = x · y + 2z. Die Hesse-Matrix hat hier 3 × 3 = 9 Einträge, auf der Diagonale stehen 0, 0 und 2.
Gradient und Hesse-Matrix verstehen
Der Gradient ∇f fasst alle ersten partiellen Ableitungen zu einem Vektor zusammen. Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs – wie ein Pfeil, der auf einer Landkarte bergauf zeigt. Ist der Gradient null, ist die Fläche an dieser Stelle waagerecht. Die Steigung in eine beliebige Richtung – die Richtungsableitung – ist das Skalarprodukt aus Gradient und Richtungsvektor der Länge 1; das rechnet der Skalarprodukt-Rechner aus.
Die Hesse-Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen. Sie beschreibt die Krümmung und entscheidet, ob ein waagerechter Punkt ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattel ist – das Gegenstück zur zweiten Ableitung in der Kurvendiskussion. Setzt du einen Punkt ein, wird sie zu einer Zahlenmatrix, die du im Matrizenrechner weiterverarbeiten kannst. Bei zwei Variablen hilft dir diese Tabelle:
| Determinante D = fₓₓ · fᵧᵧ − fₓᵧ² | Zusatzbedingung | Art des Punktes |
|---|---|---|
| D > 0 | fₓₓ > 0 | lokaler Tiefpunkt (Minimum) |
| D > 0 | fₓₓ < 0 | lokaler Hochpunkt (Maximum) |
| D < 0 | – | Sattelpunkt |
| D = 0 | – | keine Aussage, genauer untersuchen |
Einträge der Hesse-Matrix je nach Zahl der Variablen
🤓 Wusstest du? Ob du erst nach x und dann nach y ableitest oder umgekehrt, ist bei den üblichen Funktionen egal – das besagt der Satz von Schwarz. Deshalb ist die Hesse-Matrix symmetrisch. Im Rechner siehst du das an den Einträgen rechts oben und links unten, die immer dasselbe ergeben.
Wo braucht man partielle Ableitungen?
- Wirtschaft: Hängt die Produktion von Arbeit und Kapital ab, ist die partielle Ableitung nach der Arbeit die Grenzproduktivität der Arbeit.
- Physik und Technik: Wärmeleitung, Wellen und Strömungen werden mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben.
- Messtechnik: Bei der Fehlerfortpflanzung zeigen die partiellen Ableitungen, wie stark sich ein Messfehler jeder Größe auf das Ergebnis auswirkt – wie beim Zylinder in Beispiel 2.
- Maschinelles Lernen: Beim Gradientenverfahren geht ein Modell Schritt für Schritt gegen die Richtung des Gradienten, um einen Fehler zu verkleinern.
Schreibweisen der partiellen Ableitung
In Büchern und Vorlesungen begegnen dir verschiedene Schreibweisen. Sie bedeuten dasselbe:
| Schreibweise | Bedeutung | Beispiel für f = x² · y³ |
|---|---|---|
| ∂f/∂x, fₓ | erste Ableitung nach x | 2x · y³ |
| ∂f/∂y, fᵧ | erste Ableitung nach y | 3x² · y² |
| ∂²f/∂x², fₓₓ | zweimal nach x | 2y³ |
| ∂²f/∂x∂y, fₓᵧ | gemischt: nach x und nach y | 6x · y² |
| ∇f, grad f | Gradient, alle ersten Ableitungen | (2x · y³, 3x² · y²) |
Das runde ∂ unterscheidet die partielle Ableitung vom geraden d der gewöhnlichen Ableitung df/dx. Es zeigt: Hier hängt f noch von weiteren Variablen ab.
⚠️ Achtung bei der Eingabe: Schreibe x*y mit Malpunkt. Ohne ihn liest der Rechner „xy“ als eine einzige Variable mit zwei Buchstaben. Die Buchstaben e und pi stehen für die Zahlen e und π und sind keine Variablen.
Häufige Fehler bei partiellen Ableitungen
- ✅ Andere Variablen nicht ableiten: Beim Ableiten nach x ist y² eine Konstante – ihre Ableitung ist 0.
- ✅ Faktoren stehen lassen: ∂/∂x (5x · y) = 5y, nicht 5.
- ✅ Kettenregel beachten: ∂/∂y e^(x · y) = x · e^(x · y) – die innere Ableitung nach y ist x.
- ✅ Gradient null heißt nicht automatisch Extremum: Erst die Hesse-Matrix entscheidet, ob ein Sattel vorliegt.
- ✅ Malpunkt setzen: x*y statt xy, sonst entsteht eine neue Variable „xy“.
Häufige Fragen zur partiellen Ableitung
Was ist eine partielle Ableitung?
Eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen nach genau einer davon. Alle anderen Variablen werden dabei wie feste Zahlen behandelt. Sie gibt die Steigung der Funktion in Richtung dieser einen Variablen an.
Wie berechnet man eine partielle Ableitung?
Du wählst die Variable, nach der du ableitest, und behandelst alle anderen wie Konstanten. Dann wendest du die üblichen Regeln an. Bei f = x² · y ergibt das nach x 2x · y, weil y ein konstanter Faktor ist.
Was ist der Unterschied zwischen d und ∂?
Das gerade d steht für die gewöhnliche Ableitung einer Funktion mit einer Variablen, etwa df/dx. Das runde ∂ zeigt an, dass f von mehreren Variablen abhängt und nur nach einer davon abgeleitet wird.
Was ist der Gradient?
Der Gradient ist der Vektor aus allen ersten partiellen Ableitungen einer Funktion. Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs. Der Rechner listet ihn in der Tabelle „Gradient (alle ersten partiellen Ableitungen)“ auf.
Wofür braucht man die Hesse-Matrix?
Die Hesse-Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen. Mit ihr prüfst du, ob ein Punkt mit Gradient null ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt ist. Bei zwei Variablen reicht dafür ihre Determinante und das Vorzeichen von fₓₓ.
Sind gemischte partielle Ableitungen immer gleich?
Für die Funktionen aus Schule und Studium ja: fₓᵧ und fᵧₓ stimmen überein, wenn die zweiten Ableitungen stetig sind. Das ist der Satz von Schwarz. Nur bei sehr speziellen Funktionen kann es Ausnahmen geben.
Wie viele Variablen kann der Rechner?
Die Funktion darf beliebig viele Variablen enthalten, die Namen erkennt der Rechner selbst. Die Hesse-Matrix zeigt er bei bis zu drei Variablen, den Gradienten immer.
Was passiert, wenn die Variable gar nicht in der Funktion vorkommt?
Dann ist die partielle Ableitung 0, denn die Funktion hängt nicht von dieser Variablen ab. Der Rechner nimmt die Variable trotzdem in die Tabellen auf und zeigt dort überall 0.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
📈 Kurvendiskussion-RechnerHoch-, Tief- und Wendepunkte einer Funktion f(x) automatisch finden.
▦ Determinante berechnenDeterminanten von Matrizen mit exakten Brüchen – auch für die Hesse-Matrix.
y′ Differentialgleichung-RechnerLineare Differentialgleichungen lösen und Anfangswertprobleme numerisch rechnen.
So rechnet unser Rechner: Die partiellen Ableitungen bildet die freie Bibliothek nerdamer (MIT-Lizenz) symbolisch. Sie liegt auf netzblogr.de selbst, wird nur auf diesen Mathe-Seiten geladen und rechnet vollständig in deinem Browser. Der Rechner ermittelt die Variablen der Funktion, leitet nach jeder einzeln ab (Gradient) und bildet bei bis zu drei Variablen alle zweiten Ableitungen (Hesse-Matrix). Extremstellen bestimmt er nicht selbst – die Beispiele zum Nullsetzen und zur Determinante sind von Hand gerechnet und nachgeprüft. Stand: November 2026