Polynomdivision-Rechner

Der Polynomdivision-Rechner teilt ein Polynom durch ein anderes und zeigt dir das Schema Schritt für Schritt: Welcher Summand kommt ins Ergebnis, was wird mit dem Divisor multipliziert und abgezogen, und welcher Rest bleibt am Ende übrig. Du bekommst Quotient und Rest getrennt, Brüche werden exakt angezeigt – ideal, um eine Polynomdivision mit oder ohne Rest im Heft zu kontrollieren.

So benutzt du den Polynomdivision-Rechner

Die Erklärung „So wird gerechnet“ ist schon aufgeklappt und fasst die Regeln zusammen. Mit dem Kopier-Symbol übernimmst du das Ergebnis als Text (z. B. „x^2 + x − 2“), „Teilen“ erzeugt einen Link mit deiner Aufgabe, „Drucken“ bringt das Schema aufs Papier. Mehr Rechner rund um Algebra und Analysis findest du bei den Matherechnern.

Polynomdivision: das Verfahren erklärt

P(x) ist der Dividend, D(x) der Divisor, Q(x) der Quotient und R(x) der Rest. Das ist genau dieselbe Idee wie bei Zahlen: 17 : 5 = 3 Rest 2, weil 17 = 3 · 5 + 2 ist. Statt Ziffern arbeitest du hier mit Potenzen von x. Der Grad des Quotienten ist immer Grad des Dividenden minus Grad des Divisors.

Der Ablauf hat drei Schritte, die sich wiederholen:

1. Teilen: Höchste Potenz des (Rest-)Dividenden durch die höchste Potenz des Divisors teilen. Das ergibt den nächsten Summanden des Quotienten.
2. Multiplizieren: Diesen Summanden mit dem ganzen Divisor malnehmen.
3. Abziehen: Das Produkt vom (Rest-)Dividenden subtrahieren. Die höchste Potenz fällt dabei weg.

Du hörst auf, sobald der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Divisors. So sieht das für die Standardaufgabe aus:

Der Rechner zeigt in seinem Schema die Spalten „Teilen“ und „Multiplizieren“ als Zeilen wie „x² · (x − 3) = x³ − 3x² → abziehen“. Die Zwischenreste aus der letzten Spalte rechnest du zur Übung selbst aus – sie ergeben sich, wenn du die Zeile vom vorherigen Rest abziehst.

Rechenbeispiele mit dem Polynomdivision-Rechner

Horner-Schema: die Abkürzung für (x − a)

Teilst du durch einen Linearfaktor (x − a), geht es mit dem Horner-Schema schneller: Du schreibst nur die Koeffizienten auf, ziehst den ersten herunter, multiplizierst mit a, addierst zum nächsten und so weiter. Für Beispiel 1 ist a = −2, denn x + 2 = x − (−2):

Die letzte Zeile liest du als Quotient 2x² − x + 1 mit Rest 3 – dasselbe Ergebnis wie oben, nur ohne x-Schreibarbeit. Wichtig: Fehlt im Dividenden eine Potenz, musst du im Horner-Schema eine 0 als Platzhalter eintragen. Bei x³ − 7x + 6 lauten die Koeffizienten also 1, 0, −7, 6.

Wofür braucht man die Polynomdivision?

Polynomdivision für Nullstellen ab Grad 3

Der häufigste Einsatz in der Schule: Du hast eine Nullstelle x₁ geraten und teilst durch (x − x₁). Übrig bleibt ein Polynom mit einem Grad weniger – oft eine quadratische Gleichung, die du mit dem Mitternachtsformel-Rechner löst. Bei x³ − 7x + 6 ist x = 1 eine Nullstelle, die Division durch (x − 1) ergibt x² + x − 6, und daraus folgen x = 2 und x = −3. Den kompletten Weg samt Linearfaktorzerlegung zeigt der Nullstellenrechner.

Partialbruchzerlegung bei unechten Brüchen

Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, kommt vor der Partialbruchzerlegung immer erst die Polynomdivision. Aus (x³ + 2)/(x² − 1) wird so x + (x + 2)/(x² − 1), und nur der echte Bruch wird weiter zerlegt. Das übernimmt der Partialbruchzerlegung-Rechner.

Schiefe Asymptoten

Bei gebrochenrationalen Funktionen, deren Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad, liefert der Quotient die schiefe Asymptote. Aus Beispiel 4 folgt: Der Graph von (x² + 1)/(2x + 1) nähert sich für große |x| der Geraden y = ½x − ¼, weil der Restbruch gegen 0 geht. Wie man so etwas sauber begründet, zeigt der Grenzwertrechner, den ganzen Graphen untersucht der Kurvendiskussion-Rechner.

Häufige Fehler bei der Polynomdivision

• ✅ Nach Potenzen sortiert? Dividend und Divisor müssen absteigend geordnet sein: x³ vor x² vor x vor der Zahl.
• ✅ Lücken bedacht? Schreib im Heft fehlende Potenzen als 0x² mit, damit die Spalten stimmen.
• ✅ Ganze Klammer abgezogen? Jedes Vorzeichen im Produkt dreht sich beim Subtrahieren um.
• ✅ Durch den Leitkoeffizienten geteilt? Bei 2x − 1 teilst du durch 2x, nicht durch x.
• ✅ Rechtzeitig aufgehört? Schluss ist, wenn der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor.
• ✅ Probe gemacht? Quotient · Divisor + Rest muss wieder den Dividenden ergeben. Zum Ausmultiplizieren hilft der CAS-Rechner.

Häufige Fragen zur Polynomdivision

Wie funktioniert die Polynomdivision?

Du teilst die höchste Potenz des Dividenden durch die höchste Potenz des Divisors, multiplizierst das Ergebnis mit dem ganzen Divisor und ziehst es ab. Mit dem Rest wiederholst du das, bis sein Grad kleiner als der des Divisors ist. Die gesammelten Teilergebnisse bilden den Quotienten.

Wann geht eine Polynomdivision ohne Rest auf?

Eine Division durch (x − a) geht genau dann ohne Rest auf, wenn a eine Nullstelle des Dividenden ist. Allgemein geht sie auf, wenn der Divisor ein Faktor des Dividenden ist. Der Rechner meldet dann „geht ohne Rest auf“.

Was mache ich mit dem Rest bei der Polynomdivision?

Den Rest schreibst du als Bruch mit dem Divisor im Nenner hinter den Quotienten. Aus 2x² − x + 1 Rest 3 bei Division durch (x + 2) wird 2x² − x + 1 + 3/(x + 2).

Wozu braucht man die Polynomdivision?

Vor allem, um nach dem Raten einer Nullstelle die übrigen Nullstellen zu finden. Außerdem brauchst du sie für die Partialbruchzerlegung unechter Brüche und um schiefe Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen zu bestimmen.

Was ist der Unterschied zwischen Polynomdivision und Horner-Schema?

Beide liefern dasselbe Ergebnis. Das Horner-Schema funktioniert aber nur bei Divisoren der Form (x − a) und arbeitet ausschließlich mit den Koeffizienten. Die Polynomdivision ist allgemeiner und klappt auch mit Divisoren wie x² + 1.

Was passiert, wenn im Polynom eine Potenz fehlt?

Im Heft ergänzt du die fehlende Potenz mit dem Koeffizienten 0, also x³ − 7x + 6 als x³ + 0x² − 7x + 6. So bleiben die Spalten sauber untereinander. Im Rechner kannst du das Polynom einfach ohne Lücke eingeben.

Welchen Grad hat das Ergebnis einer Polynomdivision?

Der Quotient hat den Grad des Dividenden minus den Grad des Divisors. Teilst du ein Polynom 4. Grades durch eines 2. Grades, kommt ein Polynom 2. Grades heraus. Der Rest hat immer einen kleineren Grad als der Divisor.

Kann man durch x teilen?

Ja, x ist ein Polynom 1. Grades. (x³ + 2x² + 5) : x ergibt x² + 2x Rest 5. Hat der Dividend keine Konstante, geht die Division ohne Rest auf – dann ist x = 0 eine Nullstelle.

Passende Rechner: So rechnest du weiter