Binomialverteilung-Rechner
Binomialverteilung online berechnen: P(X = k), höchstens und mindestens k Treffer, Erwartungswert und Standardabweichung – mit Würfel-, Münz- und Schulbeispielen.
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- Stand: November 2026
Mit dem Binomialverteilung-Rechner bestimmst du die Wahrscheinlichkeit für genau, höchstens, mindestens oder zwischen k Treffern – bei beliebig vielen Versuchen bis n = 10.000. Dazu bekommst du Erwartungswert, Standardabweichung, ein Säulendiagramm der Verteilung und den Rechenweg. Ideal für Würfel- und Münzaufgaben, Qualitätskontrolle und Schulaufgaben zur Bernoulli-Kette.
Kurz erklärt
Die Binomialverteilung gibt an, wie wahrscheinlich k Treffer bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p sind: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Erwartungswert μ = n · p. Beispiel: Zehnmal eine Münze werfen, genau fünfmal Kopf – 24,61 %. Der Binomialverteilung-Rechner liefert auch „höchstens“ und „mindestens“.
So benutzt du den Binomialverteilung-Rechner
Unter dem Ergebnis findest du Erwartungswert μ, Standardabweichung σ, P(X = k) für dein k und den wahrscheinlichsten Wert. „So wird gerechnet“ setzt deine Zahlen in die Formel ein und zeigt bei Bereichen die Summe. Mit „Teilen“ schickst du die Aufgabe samt Eingaben weiter. Weitere Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
💡 Tipp: Der Knopf „⅙ (Würfel)“ setzt p = 0,1666666667 – so genau, dass Schulergebnisse exakt stimmen: Bei 6 Würfen ergibt „mindestens eine Sechs“ 66,5102 %. Tippst du dagegen nur 0,17 ein, verschieben sich die Nachkommastellen spürbar. Brüche wandelst du mit dem Bruch-in-Prozent-Rechner um.
Binomialverteilung berechnen: Formel und Bernoulli-Kette
μ = n · p · σ = √(n · p · (1 − p))
Die Formel besteht aus drei Teilen. p^k ist die Wahrscheinlichkeit für k Treffer hintereinander, (1 − p)^(n − k) die für die restlichen Nieten. Weil die Treffer an beliebigen Stellen liegen dürfen, multiplizierst du mit n über k – der Zahl der möglichen Reihenfolgen. Diesen Binomialkoeffizienten berechnet der n über k Rechner auch einzeln, samt Pascalschem Dreieck.
„Höchstens k“ bedeutet die Summe P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k). Man nennt das die kumulierte Binomialverteilung – in Formelsammlungen steht dafür F(k). In der deutschen Version von Excel heißt die Funktion BINOM.VERT(k;n;p;WAHR), mit FALSCH am Ende bekommst du P(X = k).
Wann ist ein Zufallsexperiment binomialverteilt?
Ein Experiment mit nur zwei Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Wiederholst du es n-mal, entsteht eine Bernoulli-Kette. Prüfe diese vier Punkte:
- ✅ Zwei Ausgänge: Treffer oder Niete – zum Beispiel „Sechs“ oder „keine Sechs“.
- ✅ Feste Anzahl n: Die Zahl der Versuche steht vorher fest.
- ✅ Gleiches p: Die Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich nicht von Versuch zu Versuch.
- ✅ Unabhängigkeit: Ein Ergebnis beeinflusst die anderen nicht.
⚠️ Achtung: Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge – Lottokugeln, Karten, fünf Lose aus zwanzig – ist nicht binomialverteilt, weil sich p bei jedem Zug ändert. Bei großen Mengen, etwa einer Lieferung mit tausenden Teilen, ist die Binomialverteilung trotzdem eine sehr gute Näherung.
Rechenbeispiele mit dem Binomialverteilung-Rechner
🧮 Beispiel 1: Zehn Münzwürfe
Wie wahrscheinlich ist bei 10 Würfen genau fünfmal Kopf? Das ist die Voreinstellung des Rechners.
- n = 10, p = 0,5, „genau k Treffer“, k = 5
- 10 über 5 = 252 mögliche Reihenfolgen
- 0,5^5 · 0,5^5 = 1 ÷ 1.024
- 252 ÷ 1.024 = 0,24609375
Ergebnis: 24,6094 % – also nur in jedem vierten Durchgang ein exaktes 5 : 5. „Höchstens 5“ ergibt 62,3047 %, „mindestens 8“ nur 5,4688 %. Selbst werfen kannst du mit dem Münzwurf-Generator.
🧮 Beispiel 2: Mindestens eine Sechs bei 6 Würfen
Viele glauben, bei 6 Würfen müsse eine Sechs fallen. Wie hoch ist die Chance wirklich?
- n = 6, p = 1/6, „mindestens k Treffer“, k = 1
- Gegenereignis „keine Sechs“: (5/6)^6 = 0,334898
- 1 − 0,334898 = 0,665102
Ergebnis: 66,5102 %. In rund einem Drittel der Fälle fällt keine einzige Sechs. Nachwürfeln kannst du mit dem Würfel-Generator.
🧮 Beispiel 3: Qualitätskontrolle in der Produktion
Eine Maschine produziert 5 % Ausschuss. Die Prüferin zieht 20 Teile aus einer großen Lieferung. Die Lieferung wird angenommen, wenn höchstens 1 Teil defekt ist.
- n = 20, p = 0,05, „höchstens k Treffer“, k = 1
- P(X = 0) = 0,95^20 = 0,358486
- P(X = 1) = 20 · 0,05 · 0,95^19 = 0,377354
- Summe: 0,735840
Ergebnis: Mit 73,584 % wird die Lieferung angenommen, mit 26,416 % abgelehnt. Erwartet wird genau 1 defektes Teil (μ = 20 · 0,05), die Standardabweichung beträgt 0,9747.
🧮 Beispiel 4: Multiple-Choice-Test durch Raten
Ein Test hat 20 Fragen mit je 4 Antworten, eine davon ist richtig. Bestanden ist ab 10 richtigen Antworten. Wie groß ist die Chance, allein durch Raten zu bestehen?
- n = 20, p = 0,25, „mindestens k Treffer“, k = 10
- Erwartungswert: 20 · 0,25 = 5 richtige Antworten
- Standardabweichung: √(20 · 0,25 · 0,75) = 1,9365
Ergebnis: Nur 1,3864 % – etwa einer von 72 Ratenden besteht. Genau 5 Richtige, der wahrscheinlichste Wert, kommen mit 20,2331 % vor.
Genau, höchstens, mindestens: Textaufgaben richtig übersetzen
Der häufigste Fehler in Schulaufgaben ist nicht die Formel, sondern die Übersetzung des Textes. Angenommen, 30 % aller Schüler kommen mit dem Rad, und du befragst 20 zufällig ausgewählte (n = 20, p = 0,3):
| Formulierung | Bedeutet | Einstellung im Rechner | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| genau 6 | P(X = 6) | genau, k = 6 | 19,1639 % |
| weniger als 3 | P(X ≤ 2) | höchstens, k = 2 | 3,5483 % |
| mehr als 3 | P(X ≥ 4) | mindestens, k = 4 | 89,2913 % |
| mindestens 4 und höchstens 8 | P(4 ≤ X ≤ 8) | zwischen, k = 4, k₂ = 8 | 77,9582 % |
| mindestens einer | 1 − P(X = 0) | mindestens, k = 1 | 99,9202 % |
„Mehr als 3“ heißt P(X ≥ 3). Und: „Im Schnitt fällt bei 6 Würfen eine Sechs – also sicher eine.“
„Mehr als 3“ ist P(X ≥ 4), die 3 gehört nicht dazu. Der Erwartungswert 1 ist ein Durchschnitt – mindestens eine Sechs fällt nur mit 66,5102 %.
Tabelle: Binomialverteilung beim Würfeln (n = 6, p = 1/6)
Wie oft fällt die Sechs bei sechs Würfen? Die Tabelle zeigt die exakten Werte mit p = 1/6, die kumulierten Spalten sparen dir das Aufsummieren.
| k Sechsen | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 33,4898 % | 33,4898 % | 100 % |
| 1 | 40,1878 % | 73,6776 % | 66,5102 % |
| 2 | 20,0939 % | 93,7714 % | 26,3224 % |
| 3 | 5,3584 % | 99,1298 % | 6,2286 % |
| 4 | 0,8038 % | 99,9336 % | 0,8702 % |
| 5 | 0,0643 % | 99,9979 % | 0,0664 % |
| 6 | 0,0021 % | 100 % | 0,0021 % |
Multiple-Choice-Test: richtige Antworten durch Raten (n = 20, p = 0,25)
Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung
Der Erwartungswert μ = n · p ist der Durchschnitt, wenn du das Experiment sehr oft wiederholst. Die Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)) sagt, wie weit die Ergebnisse typischerweise davon abweichen. Wie Standardabweichungen bei Messreihen funktionieren, zeigt der Standardabweichung-Rechner.
Bei 60 Würfen ist σ = √(60 · 1/6 · 5/6) = 2,8868. Ergebnisse von etwa 7 bis 13 Sechsen sind also völlig normal, 15 oder mehr kommen immerhin noch mit 6,478 % vor. Bei 100 Münzwürfen (μ = 50, σ = 5) liegt die Zahl der Köpfe mit 96,48 % zwischen 40 und 60.
Wahrscheinlichster Wert im Binomialverteilung-Rechner
Der Rechner zeigt als wahrscheinlichsten Wert ⌊(n + 1) · p⌋, also (n + 1) · p abgerundet. Ist (n + 1) · p eine ganze Zahl, gibt es zwei gleich wahrscheinliche Werte: Bei n = 5 und p = 0,5 sind 2 und 3 Treffer mit je 31,25 % gleichauf, der Rechner nennt den größeren.
Typische Schulaufgabe: Wie oft muss ich mindestens würfeln?
„Wie oft musst du würfeln, damit mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit wenigstens eine Sechs fällt?“ Ansatz über das Gegenereignis: 1 − (5/6)^n ≥ 0,9, also (5/6)^n ≤ 0,1. Logarithmieren ergibt n ≥ ln(0,1) ÷ ln(5/6) ≈ 12,63. Die Antwort lautet 13 Würfe. Probe im Rechner: Bei n = 12 sind es 88,7843 %, bei n = 13 schon 90,6536 %. Den Logarithmus rechnest du mit dem Logarithmus-Rechner.
🤓 Wusstest du? Das Galtonbrett macht die Binomialverteilung sichtbar. Kugeln fallen durch Reihen von Nägeln und springen an jedem Nagel mit 50 % nach links oder rechts. Bei 10 Nagelreihen landet fast jede vierte Kugel im mittleren Fach – genau 24,6094 %, wie beim zehnfachen Münzwurf. Bei großem n nähert sich die Form der Glockenkurve der Normalverteilung; als Faustregel gilt das ab σ > 3. Dann hilft auch der Z-Wert-Rechner.
Häufige Fehler bei der Binomialverteilung
- ✅ p als Dezimalzahl: 30 % sind 0,3 – nicht 30.
- ✅ Grenzen prüfen: „mehr als k“ = mindestens k + 1, „weniger als k“ = höchstens k − 1.
- ✅ Treffer klar festlegen: Fragst du nach Nieten, nimm 1 − p als Trefferwahrscheinlichkeit.
- ✅ Gegenereignis nutzen: „mindestens einer“ rechnest du am schnellsten als 1 − P(X = 0).
- ✅ Unabhängigkeit prüfen: Ohne Zurücklegen aus kleinen Mengen passt die Binomialverteilung nicht.
Häufige Fragen zum Binomialverteilung-Rechner
Wie berechnet man die Binomialverteilung?
Mit der Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^(n − k). n ist die Zahl der Versuche, k die Zahl der Treffer und p die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch. Für „höchstens“ oder „mindestens“ addierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten.
Was ist eine Bernoulli-Kette?
Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen, das n-mal unabhängig mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit wiederholt wird. Die Zahl der Treffer ist dann binomialverteilt. Beispiel: zehnmal würfeln und die Sechsen zählen.
Was ist der Erwartungswert der Binomialverteilung?
Der Erwartungswert ist μ = n · p. Bei 60 Würfen mit p = 1/6 erwartest du im Schnitt 10 Sechsen. Das heißt nicht, dass genau 10 fallen – die Wahrscheinlichkeit dafür liegt nur bei 13,7 %.
Wie berechnet man die Standardabweichung der Binomialverteilung?
Mit σ = √(n · p · (1 − p)). Bei 10 Münzwürfen ist σ = √(10 · 0,5 · 0,5) ≈ 1,5811. Der Wert zeigt, wie stark die Trefferzahl typischerweise um den Erwartungswert schwankt.
Was ist der Unterschied zwischen „höchstens“ und „weniger als“?
„Höchstens 3“ schließt die 3 ein: P(X ≤ 3). „Weniger als 3“ schließt sie aus und bedeutet P(X ≤ 2). Im Rechner wählst du in beiden Fällen „höchstens k Treffer“, gibst aber unterschiedliche k ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 6 Würfen mindestens eine Sechs zu würfeln?
Sie beträgt 1 − (5/6)^6 ≈ 66,51 %. Obwohl im Schnitt eine Sechs fällt, gehst du also in einem Drittel der Fälle leer aus. Für über 90 % brauchst du 13 Würfe.
Wann darf ich die Binomialverteilung nicht verwenden?
Wenn sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch ändert oder die Versuche voneinander abhängen. Typisch ist Ziehen ohne Zurücklegen aus kleinen Mengen wie beim Lotto – dann rechnest du mit der hypergeometrischen Verteilung.
Wie gebe ich die Binomialverteilung in Excel ein?
In der deutschen Excel-Version nutzt du BINOM.VERT(k;n;p;FALSCH) für P(X = k) und BINOM.VERT(k;n;p;WAHR) für P(X ≤ k). „Mindestens k“ ergibt sich als 1 − BINOM.VERT(k − 1;n;p;WAHR).
Passende Rechner: So rechnest du weiter
📈 Standardabweichung-RechnerVarianz, Mittelwert und Quartile deiner Messwerte.
🎲 Würfel-GeneratorOnline würfeln und Ergebnisse selbst auszählen.
◐ Münzwurf-GeneratorKopf oder Zahl – einzeln oder als ganze Serie.
So rechnet unser Rechner: P(X = k) wird über Logarithmen der Fakultäten berechnet, damit auch bei n = 10.000 keine Überläufe entstehen; Bereiche ergeben sich als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Erwartungswert μ = n · p, Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)), wahrscheinlichster Wert ⌊(n + 1) · p⌋. Prozentwerte werden auf vier Nachkommastellen gerundet, sehr kleine Werte in Zehnerpotenz-Schreibweise angezeigt. Alle Beispielwerte in diesem Text wurden mit exakter Trefferwahrscheinlichkeit (z. B. p = 1/6) nachgerechnet. Stand: November 2026