n über k Rechner (Binomialkoeffizient)

Mit dem n über k Rechner berechnest du den Binomialkoeffizienten exakt – vom Schulbeispiel bis n = 5.000. Du siehst auf einen Blick, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Dinge aus n auszuwählen, und bekommst gleich alle vier Fälle der Kombinatorik dazu: mit und ohne Reihenfolge, mit und ohne Wiederholung. Ein Pascalsches Dreieck und der Rechenweg machen das Ergebnis nachvollziehbar.

So benutzt du den n über k Rechner

Ergebnisse mit mehr als 15 Stellen zeigt der Rechner kurz als Zehnerpotenz, etwa 100 über 50 als 1,0089 × 10^29. Das Kopier-Symbol übernimmt trotzdem die vollständige Zahl. Die Tabelle „Bekannte Beispiele“ listet Lotto, Eurojackpot, Skat, Poker und Teamauswahl. Über „Teilen“ verschickst du einen Link mit deinen Eingaben, „Drucken“ bringt das Ergebnis aufs Papier. Weitere Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.

n über k berechnen: die Formel des Binomialkoeffizienten

Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Die Formel hat eine einfache Logik. n! ÷ (n − k)! zählt alle Möglichkeiten, k Elemente nacheinander herauszuziehen – also mit Reihenfolge. Weil bei „n über k“ die Reihenfolge keine Rolle spielt, teilst du durch k!: So oft lässt sich jede Auswahl umsortieren. Fakultäten selbst berechnest du mit dem Fakultät-Rechner.

Geschrieben wird der Binomialkoeffizient als n und k übereinander in runden Klammern. In Büchern findest du auch C(n, k) oder _nC_k, auf vielen Taschenrechnern heißt die Taste nCr. In der deutschen Version von Excel liefert KOMBINATIONEN(n;k) denselben Wert.

Wie rechnet man n über k ohne Taschenrechner?

Kürze zuerst, dann rechnest du mit kleinen Zahlen. Bei 8 über 3 heben sich die Faktoren von 1 bis 5 weg:

• Zähler: die k größten Faktoren von n abwärts: 8 · 7 · 6 = 336
• Nenner: k! = 3 · 2 · 1 = 6
• Ergebnis: 336 ÷ 6 = 56

Rechenregeln, die du dir merken solltest

• n über 0 = 1 und n über n = 1: Nichts oder alles auszuwählen geht nur auf eine Art.
• n über 1 = n: Ein Element aus n – dafür gibt es n Möglichkeiten.
• n über 2 = n · (n − 1) ÷ 2: die Zahl aller Paare, etwa Handschläge in einer Gruppe.
• Symmetrie: n über k = n über (n − k). 6 Zahlen auszuwählen ist dasselbe, wie 43 nicht auszuwählen: 49 über 43 = 13.983.816.
• Pascal-Regel: n über k = (n − 1) über (k − 1) + (n − 1) über k. Beispiel: 5 über 2 = 4 + 6 = 10.

Rechenbeispiele mit dem n über k Rechner

Kombinatorik-Übersicht: mit oder ohne Reihenfolge und Wiederholung

Fast jede Zählaufgabe lässt sich mit zwei Fragen einordnen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Und: Darf ein Element mehrfach vorkommen? Daraus ergeben sich vier Fälle – und der n über k Rechner zeigt alle vier gleichzeitig. Die Tabelle nutzt n = 10 und k = 4, also zum Beispiel 4 Ziffern aus 0 bis 9.

Ein vierstelliges Zahlenschloss hat also 10.000 Kombinationen – obwohl man umgangssprachlich von „Kombination“ spricht, ist es mathematisch eine Variation mit Wiederholung. Wählst du dagegen 4 verschiedene Ziffern, deren Reihenfolge egal ist, bleiben nur 210 Möglichkeiten.

Entscheidungshilfe: Welche Formel passt?

• Wird gezogen und nicht zurückgelegt (Lottokugeln, Karten, Personen)? → keine Wiederholung.
• Gibt es Plätze, Ränge oder Positionen (1., 2., 3. Platz, Ziffernstellen)? → Reihenfolge zählt.
• Landet alles in einem „Topf“ (Hand, Team, Becher)? → Reihenfolge egal.
• Werden alle n Elemente angeordnet? → Das ist der Sonderfall n!, also eine Permutation.

Pascalsches Dreieck: n über k auf einen Blick

Im Pascalschen Dreieck steht jede Zahl als Summe der beiden Zahlen darüber. Die Zeile n enthält genau die Werte n über 0, n über 1 bis n über n. Benannt ist es nach Blaise Pascal, bekannt war es aber schon Jahrhunderte früher in China und Persien.

Die Werte sind symmetrisch und in der Mitte am größten. Wirfst du eine Münze zehnmal, beschreibt genau diese Zeile, wie viele Wurfreihen zu 0, 1, 2 … 10-mal Kopf führen. Daraus werden Wahrscheinlichkeiten, sobald du durch 1.024 teilst – das erledigt der Binomialverteilung-Rechner.

Binomischer Lehrsatz: woher der Name „Binomialkoeffizient“ kommt

Multiplizierst du (a + b)ⁿ aus, sind die Vorfaktoren genau die Zahlen der Zeile n. Aus der Schule kennst du (a + b)² = a² + 2ab + b² mit 1 · 2 · 1. Für die vierte Potenz gilt: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. Ein „Binom“ ist ein Ausdruck aus zwei Gliedern – daher der Name.

Lotto und Poker: Wahrscheinlichkeiten mit n über k

Mit dem Binomialkoeffizienten berechnest du auch Gewinnchancen. Die Idee: günstige Fälle ÷ mögliche Fälle. Für genau r Richtige beim Lotto wählst du r aus den 6 Gewinnzahlen und 6 − r aus den 43 Nieten: (6 über r) · (43 über (6 − r)) ÷ 13.983.816. Die Superzahl lassen wir hier außen vor.

Zusammen ergeben die Tippreihen wieder 13.983.816. Auffällig: Gar keine Richtige ist wahrscheinlicher als genau eine. Beim Eurojackpot multiplizierst du zwei Binomialkoeffizienten: 50 über 5 = 2.118.760 für die Hauptzahlen mal 12 über 2 = 66 für die Eurozahlen ergibt 139.838.160 Kombinationen.

Beim Poker zählst du die Blätter jeder Hand mit Binomialkoeffizienten und teilst durch 2.598.960. Die Werte gelten für fünf zufällige Karten aus einem Blatt mit 52 Karten:

Bei Texas Hold’em bekommst du zwei Karten: 52 über 2 = 1.326 mögliche Starthände. Ein Paar Asse gibt es auf 4 über 2 = 6 Arten – die Chance liegt also bei 6 ÷ 1.326 = 1 : 221.

Häufige Fehler beim Rechnen mit n über k

• ✅ Kein Bruch: n über k ist nicht n ÷ k. 10 über 2 = 45, nicht 5.
• ✅ Reihenfolge prüfen: Gibt es Plätze oder Ränge, brauchst du die Variation n! ÷ (n − k)! – sonst zählst du zu wenig.
• ✅ Wiederholung prüfen: Darf ein Element mehrfach vorkommen, gilt (n + k − 1) über k oder n^k.
• ✅ n und k nicht vertauschen: n ist die Gesamtzahl, k die Auswahl. 6 über 49 gibt es nicht – das Ergebnis wäre 0.
• ✅ Vorher kürzen: 49! ist eine 63-stellige Zahl. Mit 49 · 48 · … · 44 ÷ 720 bleibt alles handlich.
• ✅ Symmetrie nutzen: 100 über 98 rechnest du als 100 über 2 = 4.950.

Häufige Fragen zum n über k Rechner

Was bedeutet n über k?

„n über k“ ist der Binomialkoeffizient. Er gibt an, auf wie viele Arten du k Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kannst, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und kein Element doppelt vorkommt. Beispiel: 5 über 2 = 10.

Wie berechnet man n über k?

Mit der Formel n! ÷ (k! · (n − k)!). Einfacher ist die gekürzte Form: Multipliziere die k größten Zahlen von n abwärts und teile durch k!. Für 8 über 3 also 8 · 7 · 6 ÷ 6 = 56.

Wie viele Kombinationen gibt es bei 6 aus 49?

Es gibt 49 über 6 = 13.983.816 Kombinationen. Die Chance, mit einer Tippreihe 6 Richtige zu haben, liegt damit bei 1 : 13.983.816. Mit Superzahl sind es zehnmal so viele Möglichkeiten.

Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Variation?

Bei einer Kombination ist die Reihenfolge egal, bei einer Variation zählt sie. 3 aus 10 ohne Reihenfolge ergibt 120 Möglichkeiten, mit Reihenfolge 720 – denn jede Auswahl lässt sich auf 3! = 6 Arten anordnen.

Warum ist n über 0 gleich 1?

Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen. Rechnerisch folgt es aus 0! = 1: n! ÷ (0! · n!) = 1. Aus demselben Grund ist auch n über n gleich 1.

Kann k größer als n sein?

Nein, das ergibt keine Auswahl: Aus 5 Elementen kannst du nicht 7 verschiedene ziehen. Mathematisch ist n über k dann 0. Der Rechner meldet in diesem Fall „k darf nicht größer als n sein“.

Wie gebe ich n über k in den Taschenrechner ein?

Auf den meisten Schultaschenrechnern heißt die Funktion nCr. Du tippst n, dann nCr, dann k und „=“. In Excel lautet die Funktion KOMBINATIONEN(n;k).

Was hat n über k mit dem Pascalschen Dreieck zu tun?

Jede Zahl im Pascalschen Dreieck ist ein Binomialkoeffizient. In Zeile n stehen nacheinander n über 0 bis n über n. Jede Zahl ist die Summe der beiden darüber, zum Beispiel 10 = 4 + 6 in Zeile 5.

Wie groß darf n im n über k Rechner sein?

n und k dürfen bis 5.000 betragen. Der Rechner rechnet mit exakten ganzen Zahlen; sehr große Ergebnisse wie 5.000 über 2.500 mit 1.504 Stellen zeigt er als Zehnerpotenz an und kopiert auf Wunsch die vollständige Zahl.

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