Umkehrfunktion-Rechner
Umkehrfunktion online bilden: nach x auflösen, x und y tauschen – mit Rechenweg, Probe, Monotonie-Check, zwei Ästen bei geraden Potenzen und gespiegeltem Graphen.
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- Stand: November 2026
Mit dem Umkehrfunktion-Rechner bildest du zu einer Funktion f(x) die Umkehrfunktion f⁻¹(x) – Schritt für Schritt umgestellt, so wie du es im Heft machen würdest. Jede gefundene Lösung wird numerisch geprüft, bei geraden Potenzen bekommst du beide Äste, und der Graph zeigt f und f⁻¹ gespiegelt an der Winkelhalbierenden y = x. Alles läuft sofort beim Tippen in deinem Browser.
Kurz erklärt
Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht f rückgängig. So bildest du sie: y = f(x) schreiben, nach x auflösen, x und y vertauschen. Beispiel: f(x) = 2x + 3 ergibt f⁻¹(x) = (x − 3) ÷ 2. Umkehrbar ist eine Funktion nur dort, wo sie streng monoton ist.
So benutzt du den Umkehrfunktion-Rechner
2x+3, x^3 oder e^x. Voreingestellt ist 2x+3.Hinweise unter dem Ergebnis machen dich auf Einschränkungen aufmerksam – etwa „Gilt für x ≥ 0 (Wertebereich der Wurzel)“ oder dass Winkelfunktionen nur auf einem Teilintervall umkehrbar sind. Kommt x mehrmals in der Funktion vor, löst der Rechner die Gleichung y = f(x) als Ganzes nach x auf. Gibt es keine Formel, sagt er das ehrlich. Mit „Teilen“ verschickst du einen Link mit deiner Funktion, „Drucken“ bringt alles aufs Papier. Mehr Werkzeuge findest du bei den Matherechnern.
Umkehrfunktion bilden: das Verfahren
Probe: f(f⁻¹(x)) = x
Beim Auflösen machst du jede Rechenoperation von f rückgängig – in umgekehrter Reihenfolge. Wer bei f(x) = 2x + 3 zuerst mal 2 nimmt und dann 3 addiert, muss beim Umkehren zuerst 3 abziehen und dann durch 2 teilen. Genau so beschreibt der Rechner den Weg: „3 abziehen → durch 2 teilen“. Das Vertauschen von x und y am Ende ist nur eine Konvention, damit die neue Funktion wieder x als Variable hat.
| In f steckt … | Umkehrschritt | Hinweis |
|---|---|---|
| + a | a abziehen | – |
| · a | durch a teilen | a ≠ 0 |
| xⁿ | n-te Wurzel ziehen | gerades n: zwei Äste |
| √ … | quadrieren | gilt für x ≥ 0 |
| eˣ | ln anwenden | nur für positive Werte |
| ln(…) | e-Funktion anwenden | – |
| lg(…) | 10 hoch … | – |
| sin, cos, tan | arcsin, arccos, arctan | nur Hauptwert |
| a ÷ (…) | Kehrwert bilden | x steht im Nenner |
„f⁻¹(x) bedeutet 1/f(x). Die Umkehrfunktion von 2x + 3 ist also 1/(2x + 3).“
Das hochgestellte −1 steht hier für „umkehren“, nicht für den Kehrwert. Die Umkehrfunktion von 2x + 3 ist (x − 3) ÷ 2. Probe: 2 · (x − 3)/2 + 3 = x.
Rechenbeispiele mit dem Umkehrfunktion-Rechner
🧮 Beispiel 1: Lineare Funktion 2x + 3
Die Voreinstellung. Eingabe: 2x+3.
- y = 2x + 3
- 3 abziehen: y − 3 = 2x
- Durch 2 teilen: x = (y − 3) ÷ 2
- Tauschen: f⁻¹(x) = (x − 3) ÷ 2
Ergebnis: f⁻¹(x) = (x − 3) ÷ 2. Probe mit einer Zahl: f(2) = 7 und f⁻¹(7) = 2. Monotonie: „ja – dann ist f dort umkehrbar“.
🧮 Beispiel 2: Celsius und Fahrenheit
Die Formel °F = 1,8 · °C + 32 rechnet Celsius in Fahrenheit um. Wie lautet der Rückweg? Eingabe: 1,8x+32.
- 32 abziehen, dann durch 1,8 teilen
- Der Rechner schreibt das Ergebnis als Bruch: (5/9) · (x − 32)
- Test: 98,6 °F → (98,6 − 32) · 5/9 = 37 °C
Ergebnis: °C = 5/9 · (°F − 32). Die Körpertemperatur von 98,6 °F entspricht 37 °C.
🧮 Beispiel 3: Wachstum – wann ist der Bestand doppelt so groß?
Eine Bakterienkultur wächst nach B(t) = 500 · e^(0,1t), t in Stunden. Nach welcher Zeit sind es 1.000 Bakterien? Eingabe: 500e^(0,1x).
- Rechenweg im Rechner: durch 500 teilen → ln anwenden → durch 0,1 teilen
- Umkehrfunktion: t(B) = 10 · ln(B ÷ 500)
- Für B = 1.000: 10 · ln(2) ≈ 6,93
- Für B = 5.000: 10 · ln(10) ≈ 23,03
Ergebnis: Nach rund 6,9 Stunden hat sich die Kultur verdoppelt, nach gut 23 Stunden verzehnfacht. Logarithmen berechnest du mit dem Logarithmus-Rechner.
🧮 Beispiel 4: Verschobene Parabel mit zwei Ästen
f(x) = (x − 2)² + 1 ist eine nach rechts und oben verschobene Normalparabel. Eingabe: (x-2)^2+1.
- 1 abziehen: y − 1 = (x − 2)²
- Wurzel ziehen: x − 2 = ±√(y − 1)
- 2 addieren: x = 2 + √(y − 1) oder x = 2 − √(y − 1)
Ergebnis: Der Rechner zeigt „2 Äste – f ist nicht überall umkehrbar“: Ast 1: 2 + √(x − 1) für den rechten Parabelast (x ≥ 2), Ast 2: 2 − √(x − 1) für den linken (x ≤ 2). Monotonie auf [−10; 10]: nein. Wurzeln rechnest du mit dem Wurzelrechner.
🧮 Beispiel 5: Gebrochene Funktion, x kommt zweimal vor
f(x) = (2x − 1) ÷ (x + 3). Hier steht x im Zähler und im Nenner. Eingabe: (2x-1)/(x+3).
- y · (x + 3) = 2x − 1 → x · y + 3y = 2x − 1
- Alle x auf eine Seite: x · y − 2x = −1 − 3y → x · (y − 2) = −(3y + 1)
- x = −(3y + 1) ÷ (y − 2) = (3y + 1) ÷ (2 − y)
Ergebnis: f⁻¹(x) = (3x + 1) ÷ (2 − x). Der Rechner meldet als Weg „Gleichung y = f(x) nach x aufgelöst“. Probe: f(1) = 1/4 und f⁻¹(1/4) = 1,75 ÷ 1,75 = 1.
🧮 Beispiel 6: Mehrere Schritte bei 3e^(2x) − 1
Eine Aufgabe aus dem Abitur-Training. Eingabe: 3e^(2x)-1.
- 1 addieren → durch 3 teilen → ln anwenden → durch 2 teilen
- x = ½ · ln((y + 1) ÷ 3)
- Probe: f(½ · ln 3) = 3 · 3 − 1 = 8, und f⁻¹(8) = ½ · ln(9 ÷ 3) = ½ · ln 3
Ergebnis: f⁻¹(x) = ½ · ln((x + 1) ÷ 3), definiert für x > −1 – das ist genau der Wertebereich von f.
Wann ist eine Funktion umkehrbar?
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder y-Wert höchstens einmal vorkommt. Dann lässt sich aus y eindeutig auf x zurückschließen. Mathematisch heißt das injektiv. Ein einfacher Test am Graphen: Jede waagerechte Linie darf den Graphen höchstens einmal schneiden.
Eine streng monotone Funktion – immer steigend oder immer fallend – erfüllt das automatisch. Deshalb prüft der Umkehrfunktion-Rechner, ob die Ableitung im Bereich von −10 bis 10 überall dasselbe Vorzeichen hat. Ist das nicht so, wie bei x², musst du den Definitionsbereich einschränken, zum Beispiel auf x ≥ 0. Steigungsverhalten und Extrempunkte untersucht der Kurvendiskussion-Rechner genauer.
| Funktion f | umkehrbar auf | Umkehrfunktion f⁻¹ | Definitionsbereich von f⁻¹ |
|---|---|---|---|
| 2x + 3 | ganz ℝ | (x − 3) ÷ 2 | ganz ℝ |
| x² | x ≥ 0 | √x | x ≥ 0 |
| x³ | ganz ℝ | Kubikwurzel ∛x | ganz ℝ |
| eˣ | ganz ℝ | ln(x) | x > 0 |
| ln(x) | x > 0 | eˣ | ganz ℝ |
| sin(x) | −π/2 ≤ x ≤ π/2 | arcsin(x) | −1 ≤ x ≤ 1 |
| 1/x | x ≠ 0 | 1/x (zu sich selbst invers) | x ≠ 0 |
| √(x − 1) | x ≥ 1 | x² + 1 | x ≥ 0 |
Definitions- und Wertebereich tauschen die Rollen
Was bei f herauskommen kann (Wertebereich), darf bei f⁻¹ hineingesteckt werden (Definitionsbereich) – und umgekehrt. Bei √(x − 1) kommen nur Werte ab 0 heraus, deshalb gilt die Umkehrfunktion x² + 1 nur für x ≥ 0. Der Rechner weist darauf hin: „Gilt für x ≥ 0 (Wertebereich der Wurzel).“ Bei sin(x) liefert arcsin nur den Hauptwert zwischen −π/2 und π/2; mehr dazu im Trigonometrie-Rechner.
Der Graph der Umkehrfunktion: gespiegelt an y = x
Vertauschst du x und y, vertauschst du auch die Achsen. Deshalb ist der Graph von f⁻¹ immer der an der Winkelhalbierenden y = x gespiegelte Graph von f. Aus dem Punkt (2 | 7) auf f wird der Punkt (7 | 2) auf f⁻¹. Im Umkehrfunktion-Rechner siehst du beide Kurven im Bereich von −6 bis 6, dazu die gestrichelte Spiegelachse.
Celsius → Fahrenheit: f(x) = 1,8x + 32
Die Umkehrfunktion liest dieselbe Tabelle einfach von rechts nach links: 212 °F → 100 °C, 68 °F → 20 °C. Jedes Wertepaar (x | y) von f taucht bei f⁻¹ als (y | x) wieder auf.
🤓 Wusstest du? Bei −40 Grad zeigen Celsius- und Fahrenheit-Thermometer dieselbe Zahl: 1,8 · (−40) + 32 = −40. An dieser Stelle schneiden sich f, f⁻¹ und die Winkelhalbierende y = x – solche Punkte heißen Fixpunkte.
Ableitung der Umkehrfunktion
Auch die Steigung spiegelt sich: Hat f an der Stelle x die Steigung m, hat f⁻¹ an der Stelle f(x) die Steigung 1/m. Als Formel: (f⁻¹)′(y) = 1 ÷ f′(x) mit y = f(x). Beispiel f(x) = x³: f(2) = 8 und f′(2) = 12, also hat die Kubikwurzel an der Stelle 8 die Steigung 1/12. Die Ableitungen dazu liefert der Ableitungsrechner.
💡 Tipp: Mach die Probe immer mit einer Zahl. Rechne f(2) aus und setze das Ergebnis in deine Umkehrfunktion ein. Kommt wieder 2 heraus, hast du richtig umgestellt.
⚠️ Achtung: Kommt x so oft vor, dass man nicht sauber nach x auflösen kann – etwa bei x + eˣ –, gibt es keine Umkehrfunktion als Formel. Die Funktion kann trotzdem umkehrbar sein; Werte von f⁻¹ bestimmt man dann numerisch. Der Rechner meldet in diesem Fall, dass sich keine Formel angeben lässt.
Häufige Fehler beim Bilden der Umkehrfunktion
- ✅ Reihenfolge umdrehen: Was in f zuletzt passiert, machst du zuerst rückgängig.
- ✅ f⁻¹ ist nicht 1/f: Das −1 bedeutet „umkehren“, nicht „Kehrwert“.
- ✅ Vertauschen nicht vergessen: Am Ende x und y tauschen, sonst steht die Lösung in y.
- ✅ ± beim Wurzelziehen: Bei geraden Potenzen gibt es zwei Äste – wähle den passenden zum Definitionsbereich.
- ✅ Definitionsbereich angeben: Ohne Einschränkung ist x² nicht umkehrbar.
- ✅ Klammern bei der Eingabe: e^(2x) statt e^2x und (2x-1)/(x+3) statt 2x-1/x+3.
Häufige Fragen zum Umkehrfunktion-Rechner
Was ist eine Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion f⁻¹ kehrt die Zuordnung von f um: Ordnet f dem Wert x den Wert y zu, ordnet f⁻¹ dem Wert y wieder x zu. Es gilt f⁻¹(f(x)) = x. Zur Funktion 2x + 3 gehört zum Beispiel die Umkehrfunktion (x − 3)/2.
Wie bilde ich die Umkehrfunktion?
Schreibe y = f(x), löse die Gleichung nach x auf und vertausche danach x und y. Beim Auflösen machst du die Rechenschritte von f in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Der Rechner zeigt jeden Schritt einzeln an.
Wann hat eine Funktion keine Umkehrfunktion?
Wenn ein y-Wert zu mehreren x-Werten gehört, ist f nicht umkehrbar. Das passiert bei Funktionen, die erst fallen und dann steigen, wie x². Schränkst du den Definitionsbereich auf einen monotonen Teil ein, etwa x ≥ 0, existiert die Umkehrfunktion wieder.
Was ist die Umkehrfunktion von x²?
Für x ≥ 0 ist die Umkehrfunktion √x, für x ≤ 0 ist sie −√x. Auf ganz ℝ ist x² nicht umkehrbar. Der Rechner zeigt deshalb beide Äste an und meldet bei der Monotonie „nein“.
Was ist die Umkehrfunktion von eˣ?
Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln(x), definiert für x > 0. Umgekehrt ist eˣ die Umkehrfunktion von ln(x). Ihre Graphen liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.
Wie sieht der Graph einer Umkehrfunktion aus?
Der Graph von f⁻¹ entsteht, wenn du den Graphen von f an der Winkelhalbierenden y = x spiegelst. Der Rechner zeichnet f, f⁻¹ und die Gerade y = x gemeinsam, damit du die Spiegelung direkt sehen kannst.
Was bedeutet „Ast 1“ und „Ast 2“?
Bei Funktionen mit gerader Potenz oder Betrag gibt es beim Auflösen zwei Lösungen, etwa +√ und −√. Jede gehört zu einem Teil des Graphen, auf dem f streng monoton ist. Der Rechner nennt sie Ast 1 und Ast 2.
Ist die Umkehrfunktion dasselbe wie eine inverse Matrix?
Die Idee ist dieselbe – etwas rückgängig machen –, aber es sind verschiedene Dinge. Die Umkehrfunktion kehrt eine Funktion um, die inverse Matrix eine lineare Abbildung. Für Matrizen nutzt du den Rechner für die inverse Matrix.
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x₀ NullstellenrechnerGleichungen f(x) = 0 lösen – auch mit Mitternachtsformel.
📐 Logarithmus-Rechnerln, lg und Logarithmen zu jeder Basis – die Umkehrung der Potenz.
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So rechnet unser Rechner: Der Rechner zerlegt deine Funktion mit einem eigenen kleinen Parser in ihre Rechenschritte und stellt sie – wie von Hand – rückwärts nach x um. Kommt x mehrfach vor, löst die freie Bibliothek nerdamer (MIT-Lizenz) die Gleichung y = f(x); sie liegt auf netzblogr.de selbst, wird nur auf diesen Mathe-Seiten geladen und rechnet vollständig in deinem Browser. Jede Lösung wird an sieben Stellen geprüft, indem f⁻¹ in f eingesetzt wird; Lösungen mit komplexen Zahlen werden verworfen. Für die Monotonie prüft der Rechner das Vorzeichen der Ableitung im Abstand 0,05 von −10 bis 10. Alle Beispiele wurden von Hand und im Rechner nachgerechnet. Stand: November 2026