Determinante berechnen
Determinante online berechnen: 2×2-Formel, Regel von Sarrus für 3×3 und Gauß-Verfahren ab 4×4 – exakt mit Brüchen, mit Rechenregeln und Beispielen.
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- Stand: November 2026
Hier kannst du die Determinante berechnen – für 2×2-, 3×3- und größere quadratische Matrizen, exakt mit Brüchen und mit Rechenweg. Der Rechner nutzt automatisch das passende Verfahren: die Kurzformel bei 2×2, die Regel von Sarrus bei 3×3 und das Gauß-Verfahren ab 4×4. Zusätzlich erfährst du sofort, ob deine Matrix invertierbar ist.
Kurz erklärt
Eine Determinante berechnen geht bei einer 2×2-Matrix mit det = a·d − b·c, bei 3×3 mit der Regel von Sarrus: drei Hauptdiagonalen addieren, drei Nebendiagonalen abziehen. Größere Matrizen bringst du mit dem Gauß-Verfahren in Dreiecksform und multiplizierst die Diagonale. Ist det(A) = 0, ist die Matrix nicht invertierbar.
So kannst du mit dem Rechner die Determinante berechnen
Neben dem Bruch zeigt der Rechner den Dezimalwert mit bis zu sechs Nachkommastellen und beantwortet „Invertierbar?“ mit ja oder nein. Ist die Matrix nicht quadratisch, erscheint der Hinweis, dass Zeilen- und Spaltenzahl gleich sein müssen. Alle anderen Matrix-Rechenarten wie Multiplikation und Transponieren findest du im Matrizenrechner.
Determinante berechnen: Formeln für 2×2 und 3×3
3×3 (Sarrus): a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
Bei der 2×2-Matrix multiplizierst du die Hauptdiagonale (oben links nach unten rechts) und ziehst das Produkt der Nebendiagonale ab. Bei der 3×3-Matrix schreibst du gedanklich die ersten beiden Spalten noch einmal rechts daneben. Dann bildest du drei Produkte entlang der Diagonalen nach rechts unten (plus) und drei entlang der Diagonalen nach links unten (minus).
Der Rechner zeigt bei 3×3 genau diese sechs Produkte in der Reihenfolge der Formel oben, negative Werte in Klammern. So kannst du jedes Teilprodukt mit deiner eigenen Rechnung vergleichen.
⚠️ Achtung: Die Regel von Sarrus gilt nur für 3×3-Matrizen. Bei einer 4×4-Matrix ergibt das „Diagonalen-Schema“ ein falsches Ergebnis. Dort brauchst du den Laplace’schen Entwicklungssatz oder das Gauß-Verfahren.
Welches Verfahren für welche Matrixgröße?
| Größe | Verfahren von Hand | Aufwand | Rechenweg im Rechner |
|---|---|---|---|
| 2×2 | a·d − b·c | 2 Produkte | Formel mit deinen Zahlen |
| 3×3 | Regel von Sarrus | 6 Produkte aus je 3 Faktoren | alle sechs Teilprodukte |
| 4×4 | Gauß oder Laplace | Laplace: 4 Unterdeterminanten 3×3 | Beschreibung des Gauß-Verfahrens |
| 5×5 und größer | Gauß-Verfahren | wächst etwa mit n³ | Beschreibung des Gauß-Verfahrens |
Determinante ab 4×4 berechnen: Gauß-Verfahren
Mit Zeilenumformungen bringst du die Matrix in obere Dreiecksform – unterhalb der Diagonale stehen nur Nullen. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelemente. Zwei Regeln sind wichtig: Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen zu addieren ändert die Determinante nicht. Jede Zeilenvertauschung dreht aber das Vorzeichen um. Bei 4×4 und größer nennt der Rechner das Verfahren im Rechenweg und liefert das exakte Ergebnis; die einzelnen Umformungen zeigt er dort nicht an.
Laplace-Entwicklung als Alternative
Beim Entwicklungssatz wählst du eine Zeile oder Spalte – am besten eine mit vielen Nullen. Jeder Eintrag wird mit der Determinante der Restmatrix multipliziert, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt. Die Vorzeichen wechseln nach dem Schachbrettmuster + − + … Für die Voreinstellung, entwickelt nach der ersten Spalte: 2 · (−1·1 − 4·2) − 0 + 1 · (1·4 − 3·(−1)) = 2 · (−9) + 7 = −11.
Rechenbeispiele: Determinante Schritt für Schritt
🧮 Beispiel 1: 2×2-Matrix mit negativem Eintrag
A = (4 −2; 3 1), eingegeben als „4 -2“ und „3 1“.
- Hauptdiagonale: 4 · 1 = 4
- Nebendiagonale: (−2) · 3 = −6
- det = 4 − (−6) = 10
Ergebnis: det(A) = 10. Im Rechenweg steht „det = a·d − b·c = 4·1 − (−2)·3 = 10“, darunter „2×2-Matrix · regulär – invertierbar“.
🧮 Beispiel 2: 3×3 mit der Regel von Sarrus
Die Voreinstellung: A = (2 1 3; 0 −1 4; 1 2 1).
- Plus-Produkte: 2·(−1)·1 = −2, 1·4·1 = 4, 3·0·2 = 0
- Minus-Produkte: 3·(−1)·1 = −3, 2·4·2 = 16, 1·0·1 = 0
- (−2) + 4 + 0 − (−3) − 16 − 0 = −11
Ergebnis: det(A) = −11, Dezimal −11, invertierbar: ja.
🧮 Beispiel 3: 4×4-Matrix mit dem Gauß-Verfahren
A = (1 2 0 1; 0 1 3 0; 2 0 1 1; 1 1 1 2).
- Z3 − 2·Z1 → (0 −4 1 −1), Z4 − Z1 → (0 −1 1 1)
- Z3 + 4·Z2 → (0 0 13 −1), Z4 + Z2 → (0 0 4 1)
- Z4 − 4/13·Z3 → (0 0 0 17/13)
- Diagonale: 1 · 1 · 13 · 17/13 = 17, keine Zeilenvertauschung
Ergebnis: det(A) = 17. Der Bruch 17/13 kürzt sich am Ende weg – genau hier hilft die exakte Bruchrechnung.
🧮 Beispiel 4: Brüche und eine singuläre Matrix
Erst A = (1/2 1/3; 1/4 1), dann B = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9).
- det(A) = 1/2 · 1 − 1/3 · 1/4 = 1/2 − 1/12 = 5/12
- Bei B ist die mittlere Zeile der Durchschnitt der beiden anderen – die Zeilen sind linear abhängig
- Sarrus: 45 + 84 + 96 − 105 − 48 − 72 = 0
Ergebnis: det(A) = 5/12 (Dezimal 0,416667). det(B) = 0 – der Rechner markiert das Ergebnis und meldet „singulär – nicht invertierbar“.
Tabelle: Rechenregeln für Determinanten
Mit diesen Regeln sparst du dir viel Rechenarbeit. Die Beispielwerte beziehen sich auf die 3×3-Voreinstellung mit det(A) = −11.
| Umformung | Wirkung auf det | Beispiel |
|---|---|---|
| Zwei Zeilen tauschen | Vorzeichen wechselt | Zeile 1 ↔ 2: 11 |
| Transponieren (Aᵀ) | bleibt gleich | −11 |
| Ganze n×n-Matrix mal k | det · kⁿ | 2·A: 2³ · (−11) = −88 |
| Eine Zeile mal k | det · k | Zeile 1 verdoppelt: −22 |
| Vielfaches einer Zeile addieren | bleibt gleich | Grundlage des Gauß-Verfahrens |
| Produkt A · B | det(A) · det(B) | (2 1; 5 3) · (4 7; 2 6): 1 · 10 = 10 |
| Inverse A⁻¹ | 1 ÷ det(A) | −1/11 |
| Dreiecks- oder Diagonalmatrix | Produkt der Diagonale | (2 5 7; 0 3 1; 0 0 4): 24 |
Was die Determinante bedeutet
Flächen und Volumen
Geometrisch misst die Determinante, wie stark eine Matrix Flächen oder Volumen verzerrt. Die Spalten (3 | 1) und (1 | 2) spannen ein Parallelogramm auf, seine Fläche ist |det| = |3·2 − 1·1| = 5. Bei drei Vektoren im Raum gibt |det| das Volumen des Spats an. Das Vorzeichen zeigt die Orientierung: Negativ heißt, dass die Figur zusätzlich gespiegelt wird. Dieselbe Fläche liefert dir der Kreuzprodukt-Rechner, wenn du die Vektoren mit z = 0 eingibst; dort steckt auch das Spatprodukt.
Invertierbarkeit und Gleichungssysteme
Eine Matrix mit det(A) ≠ 0 heißt regulär: Sie hat eine Inverse, und das zugehörige Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Ist det(A) = 0, ist sie singulär. Die Umkehrmatrix berechnest du im Inverse-Matrix-Rechner, das Gleichungssystem im LGS-Rechner. Dort siehst du auch, ob bei einer singulären Matrix keine oder unendlich viele Lösungen herauskommen.
Summanden in der vollständigen Determinantenformel (n!)
🤓 Wusstest du? Die vollständige Formel für eine n×n-Determinante hat n! Summanden – bei 10×10 sind es schon 3.628.800. Deshalb rechnen Computer Determinanten nicht über diese Formel, sondern mit dem Gauß-Verfahren. Wie schnell Fakultäten wachsen, zeigt der Fakultät-Rechner.
Häufige Fehler beim Determinante berechnen
„Sarrus funktioniert auch bei 4×4.“ – „Zeilen tauschen ist beim Gauß-Verfahren egal.“ – „det(2A) = 2 · det(A).“
Sarrus nur bei 3×3. Jeder Zeilentausch kehrt das Vorzeichen um. Bei einer 3×3-Matrix ist det(2A) = 2³ · det(A) = 8 · det(A).
- ✅ Minus vor Klammer: Bei a·d − b·c mit negativem b·c wird aus „minus minus“ ein Plus.
- ✅ Nur quadratische Matrizen: Eine 2×3-Matrix hat keine Determinante.
- ✅ Nullen ausnutzen: Bei Laplace nach der Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen entwickeln.
- ✅ Brüche nicht runden: Mit 0,333 statt 1/3 wird aus einer 0 leicht 0,001 – der Rechner bleibt bei Brüchen exakt. Zwischenergebnisse kürzt du mit dem Brüche-kürzen-Rechner.
Häufige Fragen zur Determinante
Wie berechnet man die Determinante einer 2×2-Matrix?
Mit der Formel det = a·d − b·c: Produkt der Hauptdiagonale minus Produkt der Nebendiagonale. Für (4 −2; 3 1) ergibt das 4·1 − (−2)·3 = 4 + 6 = 10.
Wie berechnet man eine 3×3-Determinante?
Am schnellsten mit der Regel von Sarrus: Du addierst die drei Produkte entlang der Hauptdiagonalen und ziehst die drei Produkte entlang der Nebendiagonalen ab. Alternativ entwickelst du mit Laplace nach einer Zeile oder Spalte.
Was bedeutet es, wenn die Determinante 0 ist?
Dann ist die Matrix singulär. Ihre Zeilen oder Spalten sind linear abhängig, es gibt keine Inverse, und ein Gleichungssystem mit dieser Matrix hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
Kann eine Determinante negativ sein?
Ja. Das Vorzeichen beschreibt die Orientierung: Eine negative Determinante bedeutet, dass die Abbildung spiegelt. Der Betrag gibt trotzdem den Flächen- oder Volumenfaktor an.
Wie berechnet man eine 4×4-Determinante?
Mit dem Gauß-Verfahren oder dem Laplace’schen Entwicklungssatz. Beim Gauß-Verfahren bringst du die Matrix in obere Dreiecksform, multiplizierst die Diagonale und kehrst das Vorzeichen bei jeder Zeilenvertauschung um. Die Regel von Sarrus funktioniert bei 4×4 nicht.
Haben nicht quadratische Matrizen eine Determinante?
Nein, die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, also mit gleich vielen Zeilen und Spalten. Der Rechner meldet in diesem Fall einen Hinweis statt eines Ergebnisses.
Ist die Determinante von A mal B gleich det(A) mal det(B)?
Ja, das ist der Determinantenproduktsatz: det(A · B) = det(A) · det(B). Für die Summe gilt das dagegen nicht – det(A + B) ist im Allgemeinen nicht det(A) + det(B).
Rechnet der Rechner mit Brüchen?
Ja, alle Einträge werden als exakte Brüche verarbeitet, auch Dezimalzahlen. Das Ergebnis erscheint als Bruch, zusätzlich als Dezimalzahl mit bis zu sechs Nachkommastellen.
Passende Rechner: So rechnest du weiter
⚖️ LGS-RechnerGleichungssysteme lösen – eindeutig, keine oder unendlich viele Lösungen.
🔢 MatrizenrechnerMatrizen multiplizieren, addieren und transponieren.
✖️ Kreuzprodukt-RechnerFlächen, Normalenvektor und Spatprodukt.
Weitere Werkzeuge für Algebra, Analysis und Statistik findest du bei den Matherechnern.
So rechnet unser Rechner: Die Einträge werden als gekürzte Brüche gespeichert. Die Determinante wird für jede Größe exakt mit dem Gauß-Verfahren berechnet (Produkt der Pivotelemente, Vorzeichenwechsel bei Zeilentausch); als Rechenweg zeigt der Rechner bei 2×2 die Formel a·d − b·c, bei 3×3 die sechs Sarrus-Produkte und ab 4×4 eine Beschreibung des Gauß-Verfahrens. Der Dezimalwert wird auf sechs Nachkommastellen gerundet. Alle Beispiele in diesem Text wurden nachgerechnet. Stand: November 2026